两个平面垂直的判定和性质.ppt

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1、两个平面垂直的判定和性质1、定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。性质:1、凡是直二面角都相等2、两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角记作α⊥β两个平面相交，如果其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，能否得到两个平面垂直？想一想已知：AB┴βAB求证：┴βaaABCD证明：┴┴设垂足为B，过B点在平面内作BE┴CD则∠ABE是二面角的平面角AB┴┴ABCDE∴∠ABE是直角两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。已知：ABα，AB⊥β∪求证：α⊥βα

2、βCDABE例1、设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，求证：面PAC⊥面PBCPABCO例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC=∠BAC=∠BAD=600，求证：平面BCD⊥平面ADCACBDO例3、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直αβγa已知：a//α，a⊥β求证：α⊥βb例4、已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN//平面PAD；（2）平面PMC⊥平面PDCPABCDMNQ练习1、已知△ABC中，O为AC中点，∠ABC=900，P为

3、△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC⊥平面ABCPABCO2、PD⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？PDABC2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。线面垂直面面垂直ABCD在如图长方体AC1中，判断下列结论的正误并说明理由①平面ADD1A1┴平面ABCD②D1A┴AB③D1A┴平面ABCDABCDA1B1C1D1练习：想一想：平面ADD1A1┴平面ABCD，过点A在平面ADD1A1内的直线满足什么条件才能与平面ABCD垂直呢？3、性质定理(1)：如果两个平面垂直，那么在一个平面

4、内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面CDAB面面垂直线面垂直E在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,由α⊥β知,AB⊥BE又AB⊥CD而BE和CD是β内的两条相交直线所以AB⊥β则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角面面垂直的性质定理（2）：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。ACDOObc小结：面面垂直线面垂直关键在一平面内找另一平面的垂线例1、已知：四面体ABCD，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC，E为BD中点；求证：（1）平面AEC⊥平面ABD；（2）平面AEC⊥平面BCE。ABCDE例2、已知矩形ABCD中AB=

5、2AD，E为AB的中点，将△AED沿DE折起，（1）如果AB=AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE。（2）如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB=AC。ABBCCDDAEEPQ例4.如图：AD为锐角三角形ABC的高，E是AD上一点，且AE=1/2ED，过E作直线MN//BC，交AB，BC于M，N，沿MN将AMN折起到AMN,使AED=60，求证：平面AMN平面ABCABCDEMNA例4.如图：AD为锐角三角形ABC的高，E是AD上一点,且AE=1/2ED，过E作直线MN//BC，交AB，BC于M，N，沿MN将AMN折起到AMN,使AED=60

6、，求证：平面AMN平面ABCABCDEMNA面面垂直线面垂直线线垂直例5.如图，平面平面=a，平面，平面，和又同时平行直线b，求证：（1）a(2)bAmnBC12cd如图，ABCD是正方形，PA平面AC，BEPC，E为垂足。（1）求证：平面BDE平面PBC；（2）当PA=aPB=a时，求二面角E-BD-C的正切值O（5）试问平面PBC是否与平面PDC垂直？(3)若求二面角B-PC-D又如何求？（4）试求PC与BD的距离如图，平面平面=a，平面，平面，和又同时平行直线b，求证：（1）a(2)b

7、AmnBC12cdABCDMNOABCDMNO南师讲义P.1036题1、两个平面互相垂直的定义小结：2、两个平面互相垂直的判定定理3、两个平面互相垂直的性质定理作业:1、书P40习题12、13、142、教测P119例1、例2