实函ch4课后习题解答（学生用）.doc

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1、实变函数习题集第四章可测函数§4.1可测函数的定义及其简单性质1、判断(1)设定义于可测集，则是可测函数⇔是可测函数。（）×；解错误。可证明是可测函数是可测函数(其证明见本节课件)，但反之却不一定成立。因为当我们取为一不可测集时，令。显然在可测，而不可测。(2)存在上的连续函数，与某个处处不连续的可测函数对等。()√；解正确。，，，则，(3)(P104.6)任何集合上的连续函数一定是可测函数。（）×；可测集(证明见习题8)(4)在[0,1]上不可能定义以下函数：在有理数连续，在无理数上不连续。（）√；(5)设在上可测，则在上可测与在上可测等价。（）×；解错误

2、。例如：设是上的不可测集，，则是上的可测函数，但不是上的可测函数。(6)若，则任意都是上的可测函数。（）√；(7)(P104.7)可测集上的单调函数一定是可测函数。（）√；解正确。(证明见习题9)（或单调函数至多有可列个不连续点，即几乎处处连续）。(8)存在上的可测函数，与上的任一连续函数不对等。（　　　）√；(9)函数在上是可测的当且仅当对于每个实数，集合可测。()×解反例见本节第6题。2、辨析题（要求：判断命题是否正确，对正确的命题予以简要证明，对不正确的命题举出反例。）(1)(P104.11)若在连续，是可测集上的实值可测函数，则是E上的可测函数。解正

3、确。记,记有，因连续，由P36.12题知是开集。而可测，由P104.10题知是可测集，所以是可测函数。(2)存在可测集上的可测函数列，使得收敛于可测函数的点集是不可测集。解错误。，。(3)在上连续，则在上可测。解正确。参照课件。(4)存在定义在可测点集上的不可测函数。解正确。，上任一不可测子集，定义，。3、单项选择(1)设是上的可测函数，则对任意实数，有(　　)D；(P35.2)A、是开集　　B、是闭集　　C、是零测集　　D、是可测集(2)以下命题中，()是正确的。C;(P104.11)A、可测，连续可测B、可测，可测可测C、存在上的不可测函数D、存在上的不

4、可测函数4、若函数在E上可测，是上的连续函数，则是上的可测函数。证明因为函数在上可测，由P104.8题知必存在简单函数序列使得，。由是上的连续函数知是上的简单可测函数序列，则有。由P104.8题知是上的可测函数。5、设在上连续，是上的可测函数，证明在上可测。证明法一见习题2.(1)。法二记，，，是直线上的开集，是其构成区间(可能是有限个，，），因此，，，、。6、证明：函数是集E上的可测函数的充要条件是：对于任意有理数，集可测。如果集可测，试问是否一定可测?证明（法一）必要性的证明是显然的。下证充分性。若对任意有理数,集可测。则对任意实数，记是大于的一切有理数

5、，则有，由可测得是可测的。从而是上的可测函数。若对任意有理数，集可测。则是不一定是可测的。例如，，是中的不可测集。.定义.则对任意有理数，是可测的，但是不可测的。因而是不可测的。.（法二）必要性是显然的。充分性：对任一实数，取有理数列，使得，而，于是，即可测。若可测，但不一定可测。比如因集不可测，故不可测。但集可测。7、设是上的可测函数，且点集是可测集，试证明是上的可测函数。证明，，则由题设知可测；，由于，而在E上可测，则；，则可测。从而，均有可测，故在上可测。8(p103.1)、设，是上的可测函数，则是可测函数。证明（法一）见课件。（法二）因，是上的可测函

6、数，则，都有和可测。而对，易证。所以可测，即为上的可测函数。（法三）对，，任取，则。从而，使，即。从而；反之也成立。故可测，即是可测函数。9(P104.6)、设是上的连续函数，则在的任何可测子集上都可测。证明参见课件。当是上的连续函数，设是的任意一个可测子集，对，有是闭集。这是因为，则有，使又由的连续性知：。其中。从而，则为闭集。由闭集的可测性知：在集上可测。10(P104.7)、设是中的可测子集上的单调函数，证明在上可测。证明(法一)参见课件。当，不妨设是单增函数，设M、m为在在上的最大值、最小值，则，，则有，即是可测集，即在上可测。(法二)因为单调函数的

7、不连续点至多可列多个，则设的不连续点集为，则，且在上连续，从而在上可测。§4.2Egoroff定理1、判断(1)(P108.1)Egoroff定理中这个条件是可以去掉的（）。×；(见本节课件例1)(2)设为可测集E上的可测函数列，则为E上的可测函数()。√；证明参见课件。(3)设定义于可测集，则是可测函数是可测函数。（）√；证明对，，是可测函数，从而是可测函数。2、填空题(Egorolf定理)设(1)______________，是E上的一串几乎处处取有限值；(2)于E，且，则______________。解于任意正数，恒有可测子集，使而在上一致地收敛于。3

8、、叙述并证明叶果洛夫逆定理。证明略去叶果洛夫逆定理叙