不同周期信号激励下分数阶线性系统的响应特性分析.pdf

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1、物理学报ActaPhys．Sin．Vo1．62，No．2(2013)024501不同周期信号激励下分数阶线性系统的响应特性分析冰杨建华十朱华(中国矿业大学，机电工程学院，徐州I221116)(2012年7月8日收到：2012年8月20目收到修改稿)研究了含分数阶导数阻尼的一类线性系统在不同周期信号激励下系统的响应问题．首先在简谐信号的激励下，利用谐波平衡法得到了系统响应的近似解，这一结果和已有文献(申永军，杨绍普，邢海军2012物理学报61110505)的结果完全相同，但本文的求解过程大为简化，而且本文进一步扩展了分数阶导数阻尼微分阶数的取值范围．接着，利用傅里叶级数展开法和线性系统的叠加原理

2、，求得了一般周期信号激励下系统响应的近似解，并以周期方波信号和周期全波正弦信号为例进行了说明．本文的结果表明，分数阶导数阻尼的微分阶数影响系统响应中各阶谐波的共振频率和共振振幅．系统响应的幅值与分数阶导数阻尼的微分阶数之间的单调关系主要受外激信号频率的影响．除解析分析外，本文还用数值模拟对相关结论进行了验证，两种结果符合良好，表明本文的分析方法是可行的．关键词：分数阶导数阻尼，周期信号，谐波平衡法PACS：45．10．Hj，33．20．TpDOI：10．7498／aps．62．024501可以求解的非线性系统还是非常有限的．Yang和1引言Zhu用快慢变量分离法研究了双频信号激励下的Duffi

3、ng系统，得到了系统对高频激励和低频激励近年来，分数阶微积分及其应用的研究引起响应的近似解，并基于此研究了系统的振动共振现了不同领域科研人员的广泛关注，尤其在材料学象，发现了常规的整数阶Duffing系统所不具有的[1】、流变学[2】、黏弹性理论[3]、电化学[4】、生物工新现象_14_．Shen等人分别研究了简谐信号激励下程[5]、力学【6]、自动控制理论[7]、信号处理[8】、的Duffing系统[15]和线性单自由度系统[16]，利用复杂量子系统【9】等领域得到了广泛研究．含有分数平均法得到了系统响应的幅频特性，并对分数阶导阶微积分的系统甚至被称为21世纪的系统【l0j，由数阻尼对系统响

4、应的影响作用进行了分析．此可见其重要性．处理非线性系统的响应问题，平均法无疑是一与常规的整数阶微积分系统相比较，含有分数种非常方便且有效的方法，但对于一般的线性系统，阶微积分的系统具有更多的优越性，这也是其得用谐波平衡法求解有时则更为方便．本文仍以文献到广泛关注的原因之一，但是其分析方法也变得[16】中的模型为研究对象，使用谐波平衡法得到系更加复杂和困难．在动力学领域，对分数阶微积分统响应的近似解．我们发现，使用两种方法得到的系统的研究一方面集中在系统的动力学行为方面，结果是完全一致的，且用谐波平衡法使得求解过程如混沌、分岔等现象的探索【113l，另一方面集中大为简化．另外，我们还扩展了分数阶

5、阻尼微分阶在运用各种近似理论对系统响应的近似求解问题数的取值范围．再者，基于前一部分的结果，我们还上fl4—161．由于分数阶微积分和系统中的非线性项推导得到了系统对任意的非简谐周期信号响应的在求解过程中会带来诸多的困难，因此用解析法近似解，并以周期方波信号和周期全波正弦信号为中央高校基本科研业务费专项基金(批准号：2012QNA21)和江苏省高校优势学科建设工程资助的课题．十通讯作者．E—mail：jianhuayang@cumt．edu．cn⑥2013中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp：／／wulixb．hy·ac·cn024501．1物理学报ActaPhys

6、．Sin．Vo1．62，No．2(2013)024501例进行了说明．通过数值模拟验证表明，近似解和其中数值解符合良好，用本文的方法来分析任意周期信(p0)=，()=二，号激励下分数阶线性系统的响应特性是有效的．≥1为二项式系数．在工程应用中，分数阶微分阶数P的取值范围一般为P∈(0，2)，本文也选取2简谐信号激励下系统响应的幅频P∈(0，2)．因此，我们扩展了文献[16】中分数阶导特性数阻尼的微分阶数P的取值范围．研究模型为受余弦信号激励的含分数阶导数2．1近似解析解阻尼的单自由度线性系统，即设方程(1)的近似解为，(f)+)+ck(t)+KIDp(f)]=Fcos(fot)，(1)x(t)

7、=acos(mt一)，(3)其中m，k，C分别表示系统的质量，线性刚度系数，则线性阻尼系数，F和∞分别表示激励信号的幅值和频率．DP[x(t)]为(f)关于时间t的P阶微分，表示戈()=一ao9sin(o~t—e)，分数阶导数阻尼，l为分数阶导数阻尼的系数．关2(t)=一ao)cos(rot一)，于分数阶微积分的定义较多，最常用的为Riemann—Dp()]=~Pcos(∞一日+)．(4)Liou