分数阶Lorenz系统的分析及电路实现.pdf

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1、物理学报AetaPhys．Sin．Vo1．62，No．14(2013)140503分数阶Lorenz系统的分析及电路实现术贾红艳)十陈增强2)薛薇)1)(天津科技大学自动化系，天津300222)2)(南开大学自动化系，天津300071)(2013年3月12日收到；2013年3月11日收到修改稿)频域传递函数近似方法不仅是常用的分数阶混沌系统相轨迹的数值分析方法之一，而且也是设计分数阶混沌系统电路的主要方法．应用该方法首先研究了分数阶Lorenz系统的混沌特性，通过对Lyapunov指数图、分岔图和数值仿真分析，发现了其较为丰富的动态特性，即当分数阶次从0．7到0．9以步长

2、0．1变化时，该分数阶Lorenz系统既存在混沌特性，又存在周期特性，从数值分析上说明了在更低维的Lorenz系统中存在着混沌现象．然后又基于该方法和整数阶混沌电路的设计方法，设计了一个模拟电路实现了该分数阶Lorenz系统，电路中的电阻和电容等数值是由系统参数和频域传递函数近似确定的．通过示波器观测到了该分数阶Lorenz系统的混沌吸引子和周期吸引子的相轨迹图，这些电路实验结果与数值仿真分析是一致的，进一步从物理实现上说明了其混沌特性．关键词：分数阶系统，Lorenz系统，分岔分析，电路实现PACS：05．45．一a，05．45．Pq，05．45．AcDOI：10．74

3、98／aps．62．140503沌动态，而在分数阶系统中存在混沌动态使得在维1引言数低于3的系统中发现混沌现象成为可能．在更低维的系统中发现混沌现象或许会成为一个研究动尽管分数阶的微积分理论很可能在300多年力，促使研究者们更进一步地分析和研究分数阶混前就已经出现了，但在1960年以前，关于分数阶系沌系统．这里所说的系统维数是指系统中所有的微统的研究很少能引起研究者的关注】．这或许是分方程的阶次的总和．此外，出于应用的需要，关于由于存在着许多不一致的微积分定义，或许是由于分数阶混沌同步和控制研究以及电路设计等也正缺乏对分数阶微积分的充分的几何解释-3J_直到近逐渐成为了一

4、个研究热点[14-20]．分数阶混沌理论几十年，尤其当发现一些实际的物理系统展现出分的研究工作将为混沌应用提供一些新的技术手段，数阶动态特性以后，例如，管道的边界层效应、电从而促进混沌应用的发展．解电极、黏弹性受阻结构等过程中都存在分数阶然而由于对分数阶混沌的研究刚刚起步，上动态特性(4-7】．关于分数阶系统的研究开始引起了述关于分数阶混沌系统的研究绝大多数都是通过越来越多的关注，随后对分数阶系统中的混沌动态Lyapunov指数、吸引子相轨迹图、电路仿真等数研究逐渐成为了一个研究热点，相继有一些分数阶值仿真分析方法说明系统的混沌动态．而分数阶混混沌系统被提出和研究，例如，

5、分数阶的Chua’S电沌系统的分岔分析以及硬件实现等却很少涉及．本路-1J、分数阶的Lorenz系统_3J、分数阶的Chen系文将主要通过分岔分析和模拟电路实现对分数阶统[8—1o]、分数阶的Lii系统、分数阶的神经网Lorenz系统的混沌特性进行研究．前者可以给出分络[12】、分数阶的Duffing振子[13]等．数阶系统随参数变化的演化过程，分析系统的一些通常认为在维数低于3的系统中，不能发现混动态特性，找到系统中的混沌吸引子和周期吸引子．国家自然科学基金青年科学基金(批准号：11202148)、国家自然科学基金(批准号：61174094)、高等学校博士学科点专项科研

6、基金(批准号20090031110029)和天津科技大学科学研究基金(批准号：20110124)资助的课题．十通讯作者．E—mail：jiahy@tust．edu．cn⑥2013中国物理学会ChinesePhysicalSocietytp：／／wulixb．hy．ac．cn物理学报ActaPhys．Sin．Vo1．62，No．14(2013)140503后者不仅可以帮助从物理意义上说明混沌的存在a=40，b=3，C=10，d=25，=卢==0．9时，通性，而且可以为分数阶混沌应用提供电路模型．过数值仿真可以观察到该分数阶系统在2．7维的一2003年，Grigorenko和

7、Grigorenko分析了分个混沌吸引子的相轨迹，如图1所示．数阶Lorenz系统的混沌动态，不仅给出了当系统维数大于或等于2．91时的一些吸引子相轨迹图和分析，而且也给出了当维数小于或等于2．91时，该系统不存在混沌动态的结论．但非常遗憾的是，2003年在和Grigorenko的私人通信中，Li证实了文献[3]中的结论是错误的，并于2004年在文献[2]中做了说明．2009年Yu等l21]进一步研究了分数阶Lorenz系统且给出了其平衡点的稳定性分析，说明了该系统的Hopf分岔现象，同时也给出了2．96维的混沌吸引子的数值仿