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1、第三章导数应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数单调性的判断方法第四节函数的极值与最值第五节函数图形的描绘第一节微分中值定理定理3.1.1(罗尔定理)若函数满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0.一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理定理3.1.2(拉格朗日中值定理)若函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)的内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(1)两个定理中的条件是充
2、分而非必要条件;(2)两个定理中ξ的未必唯一.三、两个主要推论推论1若函数f(x)在区间I上的导数恒等于零,则在区间I上,f(x)是一个常数.推论2若两个函数f(x)与g(x)的导数在区间I上处处相等，即f'(x)=g'(x)(x∈I).则在区间上I上f(x)与g(x)之差为一常数，即f(x)-g(x)=C(x∈I).第二节洛必达法则定理3.2.1(洛必达法则)定理3.2.2(洛必达法则)三、其他类型未定式除了型和型未定式以外，还有∞-∞,0·∞,00,1∞,∞0等类型.求这些未定式的值时，通常是先将其转化成或型未定式,然后用洛必达法则来求解.第三节函数单调性的
3、判定法定理3.3.1(函数单调性的判别法)设函数y=f(x)在开区间(a,b)的内可导，则(1)如果在(a,b)的内恒有f'(x)>0,则函数y=f(x)在(a,b)的上单调增加;(2)如果在(a,b)的内恒有f'(x)<0,则函数y=f(x)在(a,b)的上单调减少.注意：(1)定理中的区间改成其他区间(包括无穷区间)，结论仍成立.(2)函数的单调性是局部概念，如有些函数仅在定义域的部分区间上具有单调性.使f'(x)=0的点x0称为函数y=f(x)的驻点.使f'(x)不存在的点x0称为函数y=f(x)的尖点.下面是确定函数单调性的一般步骤:(1)确定函数f(x
4、)的定义域;(2)求出使函数f'(x)=0和f'(x)不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间;(3)确定f'(x)在各个子区间的正负，从而确定f(x)的单调区间.第四节函数的极值与最值定义3.4.1设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于该邻域内的任何点x(x≠x0),恒有f(x)f(x0)),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值(或极小值)，称x0为f(x)的极大值点(或极小值点).函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.定理3.4.1(极值存在的必要条件)若函数f(x
5、)在点x0处可导,且在x0处取得极值,则必有f'(x0)=0.定义3.4.2使导数f'(x)等于零的点x0,称为函数f(x)的驻点.定理3.4.2(极值存在的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某个邻域(x0-δ,x0+δ)内连续且可导(但f'(x)可以不存在).则(1)如果当x∈(x0-δ,x0)时f'(x)>0,而当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)<0,则x0是极大值点,f(x0)为f(x)的极大值;(2)如果当x∈(x0-δ,x0)时f'(x)<0,而当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)>0,则x0是极小值点,f(x0)为f(x)的极小值;(3)如果当
6、x∈(x0-δ,x0)和x∈(x0,x0+δ)时,f'(x)不改变符号,则x0不是极值点.定理3.4.3(极值存在的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f'(x0)≠0,则(1)当f''(x0)<0时,x0为极大值点.f(x0)为极大值;(2)当f''(x0)>0时,x0为极小值点.f(x0)为极小值;二、函数的最值函数的最大值和最小值可按如下方法求得:(1)求出函数f(x)在(a,b)的内所有可能的极值点(驻点和不可导点);(2)求出函数f(x)在这些点处相应的函数值及端点的函数值f(a)、f(b),然后比较它们的大小，其中最大者为f(x)在[
7、a,b]上的最大值，最小者为f(x)在[a,b]上的最小值.第五节函数图形的描绘定义3.5.1设曲线y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线.如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线y=f(x)在(a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线y=f(x)的凹区间.如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线y=f(x)在(a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线y=f(x)的凸区间.一、曲线的凹凸性与拐点定理3.5.1(曲线凹凸性判别定理)设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，那么(1)如果在(a,b)内恒有f''(x0)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内为凹
8、弧;(2)如果在(a,b
