高中数学竞赛讲义(4)几个初等函数的性质.doc

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1、高中数学竞赛讲义(四)──几个初等函数的性质一、基础知识1.指数函数及其性质:形如y=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞),当01时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。2.分数指数幂:。3.对数函数及其性质:形如y=logax(a>0,a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。当01时,y=logax为增函数。4.对数的性质(M>0,N>0);1)ax=Mx=logaM(a>0,a1);2)loga(MN)=loga

2、M+logaN;3)loga()=logaM-logaN;4)logaMn=nlogaM;,5)loga=logaM;6)alogaM=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c1).5.函数y=x+(a>0)的单调递增区间是和,单调递减区间为和。(请读者自己用定义证明)6.连续函数的性质:若a0.【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1)),则f(

3、x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立,只需证f(-1)>0且f(1)>0(因为-10,9f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,所以f(a)>0,即ab+bc+ca+1>0.例2 (柯西不等式)若a1,a2,…,an是不全为0的实数,b1,b2,…,bn∈R,则()·()≥()2,等号当且仅当存在R,使ai=,i=1,2,…,n时成立。【证明】 令f(x)=()x2-2()x+=,因为>0,且对任意x∈R,f(x)≥0,所以△=4()-4()()≤0.展开得()()≥()2。等号成立等价于

4、f(x)=0有实根,即存在,使ai=,i=1,2,…,n。例3 设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2],求u=的最小值。【解】u==xy+≥xy++2·=xy++2.令xy=t,则0

5、=16t,所以9t+12t=16t,即1+记x=,则1+x=x2,解得又>0,所以=例5 对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w,若ax=by=cz=70w,且,求证:a+b=c.【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70,相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由题设,所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1,则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾,所以a>1.又a≤b≤c,且a,b,c为7

6、0的正约数,所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c.例6 已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx,求证c2=(ac)logab.【证明】 由题设logax+logcx=2logbx,化为以a为底的对数,得,因为ac>0,ac1,所以logab=logacc2,所以c2=(ac)logab.注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。3.指数与对数方程的解法。9解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7 解方程:3x+4x+5x=6x.【解】 方程可化为=1。设f

7、(x)=,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3.例8 解方程组:(其中x,y∈R+).【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0.由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6,代入①得lgx=2lgy,即x=y2,所以y2+y-6=0.又y>0,所以y=2,x=4.所以方程组的解为.例9 已知

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