优化设计的数学基础.ppt

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1、第三章优化设计的数学模型§3-1设计变量§3-2约束条件§3-3目标函数§3-4优化设计的数学模型§3-5数学模型的几何描述§3-6优化设计的迭代过程及终止准则优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。§3-1设计变量一、设计变量设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运动学参数：例，位移、速度、加速度动力学参数：例，力、力矩、应力其它物理量：例，质量、转动惯量、频率

2、、挠度非物理量：例，效率、寿命、成本设计向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定义在n维欧氏空间中的一个向量。二、设计点与设计空间设计点:X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第k个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间Rn：以x1,x2,…,xn为坐标轴，构成n维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。欧氏空间:由于工程设计中的设计变量都是实数，所以称这种设计空间为欧式空间三、连续量与离散量一般来说，设计变量大多是一些连续变化的量。但在机械设计中，有些变量

3、也可能是跳跃式的量。例如齿轮的齿数必须为整数，模数必须符合国家标准所规定的值，轴承的尺寸必须符合产品样本中所规定的值等。凡属这类跳跃式的量称为离散量。对于离散设计变量，在优化设计过程中常常把它们视作连续量，在求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优方案。§3-2约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。一、设计约束的类型(1)约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型。(2)

4、根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。(3)显式约束隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。可行域：在可行域内任意一点称为可行设计点（内点），代表一个可行方案,可行设计点的集合D称为可行设计区

5、域。非可行域：在可行域外的点称为非可行设计点（外点），代表不可采用的设计方案，这种设计点的集合为非可行域。二、可行域和非可行域§3-3目标函数为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)表示。在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动

6、负荷最小等等。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。§3-4优化设计的数学模型综上所述，最优化问题数学模型一般表示如下：对于无约束最优化问题：式中，表示n维实欧氏空间。对于约束最优化问题：式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条件所规定的可行域。通过最优化方法求得的一组最优设计变量：表示了一个最优化的设计方案，称为最优设计点。对应于该设计方案的目标函数为：称为最优化值。最优点和最优值两者构成了一个优化问题的最优解。在数学模型中，

7、若目标函数F（X）和约束函数和都是设计变量的线性函数，这样的优化问题常称为线性规划问题，否则称为非线性规划问题。§3-5数学模型的几何描述为了进一步说明最优化问题的一些基本概念，下面再对它作必要的几何描述，以便比较直观地、形象化地理解它。先以一个二维优化问题为例。设有一个约束最优化问题，数学模型如下：对于这样一个优化问题，可用下图的几何图形来说明几个基本概念。§3-6优化设计的迭代过程及终止准则一、迭代过程与迭代格式为了适应电子计算机的工作特点，要求最优化方法具有下列性质：数值计算，而不是解析方法；具有简单的逻辑结构，并能进行反复的运算过程：不要求获