机械优化设计的数学基础.ppt

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1、机械优化设计太原科技大学张学良第二章优化设计的数学基础梯度§2.1目标函数的近似表达设目标函数f(X)是一阶连续可微的，则它在某点X（k）处对xi(i=1,2,…,n)的一阶偏导数的列向量（列矩阵）称为f(X)在X（k）点处的梯度，记作梯度的模海赛矩阵设目标函数f(X)在某点X（k）处存在连续的一阶、二阶偏导数：则函数f(X)在X（k）点的n2个二阶偏导数所构成的n×n阶方阵称为函数f(X)在X（k）点的海赛矩阵。若函数f(X)的一阶偏导数在定义域内处处连续可微，则海赛矩阵为对称方阵。目标函数的近

2、似表达——泰勒展开一元函数f(x)的泰勒展开：二元函数f(x1，x2)的泰勒展开：n元函数f(X)的泰勒展开：可计算函数与等值面给定一组设计变量的值，就对应一个确定的目标函数值f(X)=C，具有这种性质的函数叫可计算函数。反之，给定目标函数f(X)的值C，即f(X)=C，那么将有无限多个设计点X使该式成立，这些设计点在n维设计空间中将组成一个点集，称之为等值曲面（三维空间）或等值超曲面（n>3），通称等值面。在二维平面中为等值线。若给定一系列目标函数的值，将在设计空间得到一组等值面（线）族。目标函

3、数的等值线（面）f(X)=ax12+2bx1x2+cx22a>0c>0ac-b2>0一、最速下降方向——负梯度方向§2.2最速下降方向和共轭方向函数的方向导数X0X0+Xx1x2Sn元函数的方向导数:与负梯度方向成锐角的方向为目标函数值的下降方向，成钝角的方向为目标函数值的增加方向。目标函数的梯度方向是目标函数等值线（面）在同一点的法向矢量方向。f(X(k))-f(X(k))X(k)t所以，目标函数在某一点的最速下降方向为负梯度方向两个向量的共轭设两个非零向量S(0)、S(1)及对称正

4、定矩阵H，若满足二、共轭方向则称S(0)、S(1)关于H共轭，或称S(0)与S(1)为共轭方向。若H为单位阵，即H=I，则S(0)与S(1)正交。一组向量的共轭设有一组非零向量S(0)、S(1)…S(n-1)及对称正定矩阵H，若满足则称它们关于H共轭，或称它们为一组共轭方向。若H为单位阵，则称它们相互正交。凸集（见图2M8）一个点集（或区域），如果连接其中任意两点的线段都全部包含在该点集内，则称该点集为凸集。否则，称为非凸集。§2.3凸集、凸函数与凸规划凸函数（见图2M10）设函数f(X)定义域为

5、凸集G，X(1)、X(2)为凸集G上的任意两点，若函数f(X)在线段X(1)X(2)上的函数值总小于或等于用f(X(1))及f(X(2))作线性内插所得的值，则称函数f(X)为凸集G上的凸函数，即满足的函数f(X)为凸函数。若同时去掉式中的等号，则称函数f(X)为严格凸函数。凸规划对于约束优化问题若函数f(X)、gj(X)均为凸函数，则称此约束优化问题为凸规划。凸规划的性质1）凸规划的可行域为凸集2）凸规划的任何局部最优解就是全局最优解§2.4优化问题的几何解释X*X*X*X*X*X*h1=0h2

6、=0§2.5优化方法的简单分类按有无约束分类无约束优化方法、约束优化方法按目标函数的维数分类一维优化方法、多维优化方法按目标函数的数目分类单目标优化方法、多目标优化方法按求优途径的不同分类直接法、解析法（间接法）、实验法、图解法§2.6迭代方法及其收敛准则无论是直接法还是解析法，求优的过程都是采用数值迭代法，且迭代公式的形式一致。迭代方法X(k+1)=X(k)+(k)S(k)(k=0,1,2,…)两个特性1）下降性:f(X(k+1))

7、0))>f(X(1))>…>f(X(k))>f(X(k+1))>…f(X*)确定步长(k)的方法1）定步长法取(k)=p(p为常数)，检验下列不等式f(X(k)+(k)S(k))

8、维优化数学模型，即这实质上就是以(k)为变量的一元函数求极值的问题，称为一维搜索或一维寻优。解析法确定(k)：搜索方向S(k)的讨论1）三种常用搜索方向负梯度方向：S(k)=-f(X(k))共轭方向：将n维优化问题转化为每一个循环n次一维搜索，依次取n个相互共轭的方向为搜索方向。随机搜索方向：S(k)随机产生，只要求沿S(k)方向所得X(k+1)点处函数值下降。2）S(k)与-f(X(k))和f(X(k+1))的关系目标函数下降：f(X(k)+(k)S(k))-f(X(