概率论与数理统计第7讲.ppt

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1、第三节随机变量的分布函数分布函数的定义分布函数的性质离散型随机变量的分布函数用分布函数计算事件的概率例题详解小结一、分布函数的定义1）定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数．记作X～F(x)或FX(x).0xxX由分布函数的定义,对任意实数x1

2、说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.(2)分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.证明二.分布函数的性质(单调不减性)F(x2)-F(x1)=P{x1

3、.Xpk-212解：当x<-2时，01xX2-2x五、例子满足Xx的X取值为X=-2,x1X2-2x满足Xx的X取值为X=-2,或1，同理当Xpk-212说明：-2012x1Xpk-212(1)分布函数的图形如右图所示,它是一条阶梯形的曲线;(2)分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,…)处有跳跃点,其跳跃值为pk=P{X=xk}.例2:设随机变量X的分布函数为试求：解：例3设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的性质，有解方程组得解试求常数A,B.例4一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试

4、求随机变量X的分布函数.解：（1）若x<0,则是不可能事件，于是X例4一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.（2）X与上式对比得例4一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.X（3）若,则是必然事件，于是其图形为一连续曲线对任意x，F(x)可以写成形式为小结分布函数的定义：2.分布函数的性质(单调不减性)即任一分布函数处处右连续.第四节连续型随机变量及其概率

5、密度概率密度的概念与性质常见连续型随机变量的分布例题详解小结一、概率密度的概念与性质1、定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度(densityfunction).概率密度f(x)的性质：证明1xxf0)(作为判断给定一个函数是否是随机变量的密度函数的两个条件。例如：证明1xxf0)(同时得以下计算公式即若不计高阶无穷小，有它表示随机变量X取值于的概率近似等于.故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，

6、f(x)相当于线密度.若x是f(x)的连续点，则：=f(x)对f(x)的进一步理解:注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明：由于F(x)为连续函数，令由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即设X为连续型随机变量，X=a是不可能事件,则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型同样地，一个事件的概率等于1，这个事件也不一定是必然事件。解例1yyy二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布(uniformdistribution)概率密度函数图形分布函数说明⑴类似地，我们可以分别定义在区间[a,b]，[a,b)和

7、(a,b]上的均匀分布.均匀分布的特点：具有等可能性XXabxll0任给子区间2.指数分布(ExponentialDistribution)如果连续型随机变量X的概率密度为如果连续型随机变量X的概率密度为某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数distributionfunction指数分布的性质:无记忆性.