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1、线性代数第五章第五章方阵的特征值、特征向量与相似化简本章教学内容§1数域多项式的根§2方阵的特征值与特征向量§3方阵相似于对角矩阵的条件§4正交矩阵§5实对称矩阵的相似对角化*§6Jordan标准形简介§1数域多项式的根本节教学内容1.数域的概念2.多项式的根与标准分解式§1数域多项式的根1.数域的概念定义1.1设F是一个数集，F中至少包含两个不同的数，如果F中任意两个数的和、差、积、商(当除数不为零时)仍是F中的数，则称F是一个数域。注⑴数域对数的四则运算(除数不为零)封闭。⑵数域F必包含0和1两个数。证依定义有§1数域多项式的根⑶有理数集Q是一个数域，称有理数域
2、；实数集R是一个数域，称实数域；复数集C是一个数域，称复数域。⑷若F是数域，则FQ，即有理数域是最小的数域。证§1数域多项式的根例3答是。证§1数域多项式的根2.多项式的根与标准分解式定义1.2对于非负整数n及数域F上的数ai,(i=0,1,2,…,n)，未定元x的形式表达式称为数域F上的一个一元多项式.当an≠0时，称(x)为一个一元n次多项式.非零数an称为(x)的首项系数，a0称为常数项.系数全为零的多项式称为零多项式，通常零多项式不定义次数，如果为了方便，也可认为它的次数为-.§1数域多项式的根定义1.3对于正整数n，一元n次多项式(x)对应的方程
3、(x)=0称为代数方程，方程(x)=0的根称为(x)的根或零点.方程(x)=0重复出现的根称为方程(或多项式(x))的重根，其重复出现的次数称为该重根的重数，重数为1的根称为单根.例1例2§1数域多项式的根关于代数方程及多项式，有下列结论定理1.1复数域上，n次代数方程恰有n个根(k重根算k个，n≥1).推论n次(n≥1)多项式在复数域上恰有n个根(k重根算k个).定理1.2若n次多项式(x)全部互异的根为x1,x2,…,xt，它们的重数分别为n1,n2,…,nt，则有(an≠0,n1+n2+…+nt=n)上式右端称为(x)在复数域上的标准分解式。§1
4、数域多项式的根例3下列哪些是复数域上的标准分解(1)(2)(3)(4)是是不是不是§1数域多项式的根例4复数域上，将多项式标准分解。解根据根与系数的关系，(x)的有理根必是2的约数，即可能是1,-1,2,-2,§1数域多项式的根本节学习要求1.理解数域的概念，2.理解多项式、多项式的根与多项式的标准分解式的概念。作业：习题5.1(A)第3题§2方阵的特征值与特征向量本节教学内容1.方阵的特征值2.方阵的特征向量3.方阵的特征值与特征向量的问题§2方阵的特征值与特征向量1.方阵的特征值定义2.2对于n阶方阵A=(aij)，把含有字母的矩阵称为A的特征矩阵，多项式
5、()=E-A称为A的特征多项式,()的根称为A的特征根或特征值.()的单(重)根称为A的单(重)特征值.§2方阵的特征值与特征向量方阵的特征值具有下列性质定理2.1n阶方阵A=(aij)的特征多项式⑴记⑵称为A的迹(定义2.1)§2方阵的特征值与特征向量证()的n次项及n-1次项必来自均部项故()的n次项系数为1,()的n-1次项系数为()的常数项为§2方阵的特征值与特征向量定理2.2设n阶方阵A的特征值为则证由定理2.1知A的特征多项式推论方阵A可逆A的特征值都不为零。§2方阵的特征值与特征向量2.方阵的特征向量定义2.3设0是
6、n阶方阵A的一个特征值，若n维非零(列)向量满足A=0，则称为A的对应于0的一个特征向量。定理2.3设A为n阶方阵,若数0与n维非零(列)向量满足A=0，则0为A的特征值，为A的对应于0的特征向量。证#§2方阵的特征值与特征向量3.方阵的特征值与特征向量的问题⑴⑵⑶§2方阵的特征值与特征向量例2.2在实数域上求矩阵的特征值与特征向量。解§2方阵的特征值与特征向量对于1,2=2，解方程组(2E-A)X=0得基础解系对于3=-4，解方程组(-4E-A)X=0得基础解系§2方阵的特征值与特征向量例2.3在实数域上求矩阵的特征值与特征向量。解
7、§2方阵的特征值与特征向量对于1=2，解方程组(2E-B)X=0得基础解系对于2,3=1，解方程组(E-B)X=0得基础解系§2方阵的特征值与特征向量例2.4设矩阵A满足A2=A(这样的矩阵叫做幂等矩阵)，证明A的特征值只能是0或者1.证§2方阵的特征值与特征向量例2.5设矩阵A可逆，0为A的特征值，为A的对应于0的特征向量，证明:证§2方阵的特征值与特征向量本节学习要求理解方阵的特征值、特征多项式及特征向量的概念，熟悉特征值的性质，会求方阵的特征值与特征向量，会论证特征值与特征向量有关的问题。作业：习题5.2(A)第1(1)(3),3,8题§3方阵相
