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时间：2020-01-27
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1、§3.2方阵的特征值与特征向量定义7设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的n维列向量x,使得Ax=λx(3.1)则称数λ为矩阵A的特征值,称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.设x是对应于特征值λ的特征向量,由于A(kx)=k(Ax)=k(λx)=λ(kx)k≠0,所以,kx也是A的对应于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的.因此一个特征向量只属于一个特征值.(3.1)也可以写成(A-λI)x=0(3.2)这是一个含n个未知量的齐次线性方程组.根据定义7,A的特征值就
2、是使(3.2)有非零解的λ,而方程(3.2)有非零解的充要条件是
3、A-λI
4、=0(3.3)方程(3.3)的左端
5、A-λI
6、为λ的多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.此多项式称为A的特征多项式.λ0是方阵A的特征值,则由(A-λ0I)x=0可求得非零解x=P0,P0就是A的对应于特征值λ0的一个特征向量.综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:第一步计算特征多项式
7、A-λI
8、;第二步求出特征多项式
9、A-λI
10、的的全部根,即A的全部特征值.第三步对于A的每个特征值λ0,求出齐次线性方程组(A-λ0I)x=0的一
11、个基础解系.定理3推论n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.思考题：§3.3相似矩阵与矩阵的对角化定理1由于对角矩阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理1得推论若n阶矩阵A与对角阵推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.推论1推论2
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