线性相关与线性无关.ppt

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1、3.2线性相关与线性无关3.2.1线性相关性概念设定义1是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数使得见书中例1－2（P87）3.2.2求相关系数的方法考虑m个n维列向量：即有非零解，这里为矩阵.求出的非零解的m个分量就是所要求的相关系数。类似地，m个n维行向量线性相关例讨论向量组线性相关，则的线性相关性.若解由于,从而线性相关求出一组不全为零的数即变量个数大于方程个数有自由变量定理3.2.2如果向量组线性无关，而添加一个同维向量后所得到的向量组线性相关，则可以用线性表出，且表示法是惟一的。证可表性因为为线性相关组，所以存在不全为零的m+1个数使得如果，则不全为零，且，这与为线性

2、无关组的假设矛盾。所以必有，于是得到线性表出式。即可由向量组线性表出。惟一性：如果由两个线性表出式则有因为线性无关，必有即所以线性表出式惟一。定理3.2.3设为线性相关组，则任意扩充后的同维向量组，必为线性相关组。定理3.2.3可以简述为“相关组的扩充向量组必为相关组”，或者“部分相关，整体必相关”.它的等价说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整体无关，部分必无关”.定理3.2.4设有两个向量组，它们的前n个分量对应相等：如果为线性相关组，则必为线性相关组。证因为为线性相关组，所以一定存在不全为零的数使得其中前n个等式成立也就是下述向量方程成立：这就证明了为线性相关组。我

3、们把向量组称为向量组的“接长”向量组；而把向量组称为向量组的“截短”向量组。定理3.2.4可以简述为“相关组的截短向量组必为相关组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关组”.注意:“扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变，维数增减.例12考虑以下三个向量组:其中,B是A的子向量组,A是B的扩充向量组,C是A的接长向量组,A是C的截短向量组.