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1、第卷第期华北电力大学学报,年月,蒙特卡罗方法的应用及算例‘,’何凤霞张翠莲华北电力大学数理学院,北京北华航天工业学院基础部,河北廊坊摘要利用概率极限定理思想,设计二重积分的蒙特卡罗算法,通过方差分析,选择适当的随机数,得到。,了理论意义下的方差最小算法用实际算例验证了该方法的优良性关键词极限定理蒙特卡罗随机数方差一一中图分类号文献标识码文章编号刁一,,一妙,,,,,,甘,们功毯豆切引言蒙特卡罗计算重积分的最简算法均—匀随机数法利用计算机模拟随机现象产生的随机数据来进行近似计算的方法叫做蒙特卡罗方法。在
2、工程、通二重积分的蒙特卡罗方法均匀随机数、,,二,讯金融等技术问题中实验数据很难获取或实验实际计算中常常要遇到如方、的二重、,,数据的获取需耗费很多的人力物力对此用计算,、、,积分也常常发现许多时候被积函数的原函数很难机随机模拟就是最简单经济实用的方法此外对,,,、求出或者原函数根本就不是初等函数对于这样的一些复杂的计算问题如非线性议程组求解最优,。、重积分可以设计一种蒙特卡罗的方法计算一‘,,化积分微分方程及些偏微分方程的解蒙特,。定理川设式,川区域上的有界函数用均卡罗方法也是非常有效的匀随机数计算
3、,、勿的方法一般情况下,蒙特卜罗算法在二重积分中用均仃一匀随机数计算积分比较简单,但精度不太理想。通取个包含的矩形区域,,过方差分析论证了利用有利随机数可以使积分计廷,,二一一毛毛簇其面积算的精度达到最优。本文给出算例,并用,,⋯,,。,卜为口上的均匀分布随机数列实现不妨设弋,,扮,⋯,为落在中的个随机数,收稿日期一一作者简介何凤霞一,女,华北电力大学数理学院教授第期何凤霞等蒙特卡罗方法的应用及算例,则充分大时有丫、二汀了,击“育,叮,力办粤艺,。刀自茹恙’,石证毕。定理用定理中的公式作近似计算时,二
4、重积分的蒙特卡罗算法一般随机数的方差定理用,其方差为定理中的近似公式计算时其·即一少,山方差为万·只和加哄“一。刹万万加州证略翎关于方差的分析证明显然,对于均匀分布其均方差只能达到伽,仃加、一告,,。增加计算量增加但精度提高很慢城阵鲁黔,,缈对于一般的随机数也能用于计算积分下面介一绍二重积分的蒙特卡罗方法,通过选择适当的随机刊睿黔倒数,使计算精度提高。潞义一无、只琴毙伽加仃瓷知加州蒙特卡罗计算重积分的一般方法任。—山即一少,“办意随机数法仰渭琴列二重积分的蒙特卡罗算法一般随机数蒙特卡罗计算重积分的最优
5、算法有定理设只戈力区域上的有界函数,用一般—随机数计算二,叙的方法利随机数法万,。取一个包含的矩形区域口毛毛蕊任意随机数都能用于积分计算,对于不同的随蕊峨机数,计算结果的方差显然不同,在定理中,取,,,,。,,,,取任一概率密度函数满足‘、、、闷月、、力巡塑鱼艺,“一,首、兰书、,,,一,脚对丈誉川即时计算方差为零即万即方差,,、里丈过函数,以称为有利密度,一,,加令,净⋯是以爪,力为概率密度的随、,。机数列,设,,,污,⋯,为落在中的个随机力为概率密度的随机数称为有利随机数这样得,数,则充分大时,有
6、到方差最优的蒙特卡罗算法叙述如下。定理根据二重积分的最优蒙特卡罗算法有‘、二笔奥琪,,仃功“勿全利随机数设刀,区域上的有界函数人,,,”井。与林那么按如下步骤得到二,方差最优值万证明设,均是以,力为概率密度的随机向量,取一个包含的矩形区域口,,,,,,,,忱助扮⋯为,均的一组样本,,月⋯为。、。‘,八一五过甘由川。安,、‘赵,,里相。取有利概率密度以卜其中应的样本观察值笋、,,,任万︸比阴力力一,夕磋刀’巧,,卜⋯是以,为概率密度的有,。,,,戈利随机数列设扮⋯为落在中的个汀加、万瓷知加随机数,则充分
7、大时,有。··一一冬琴豪貂、渊万必山,‘全一‘夔、人‘烈,少‘,,,由大数定理在依概率意义下随机变量的统计平,,实际计算中由于是要计算的不可能事先得,均的极限是其概率平均数学期望即华北电力大学学报年到,所以只能先估算。程序如下算例用蒙特卡,罗方法计算一方二,。办一万“办,延延,毛毛。、,十。··一一引扑邻刽‘,哥一争一号,已知积分的解析计算值为。这里用。容易估算出、个有利随机数计算,作,了次计算每次的积分结取有利概率密度函数果和误差如表。平均误差同时也取了,个均匀分布随机数,作,了次计算每次的积二”十
8、十一,丽了冽丁分结果和误差如表。平均误差。显然生成个以创不功为密度的有利随机数的有利随机数计算精度远远高于均匀随机数。表有利随机数的积分值及误差介积分误差表均匀分布随机数的积分值及误差积分误差参考文献学出版社,盛骤,谢式千,潘承毅概率论与数理统计〔北京【萧树铁数学实验〕北京高等教育出版社,高等教育出版社,王梓坤概率论基础及其应用北京北京师范大责任编辑王立新。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。闷闷嘴嘴嘴嘴嘴嘴闷闷嘴闷嘴峨嘴闷嘴闷讨
