数值分析-常微分方程初值问题的解法.ppt

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1、计算方法华中科技大学数学与统计学院第六章常微分方程初值问题的数值解法计算方法课程组§6.1基本离散方法§6.2Runge-Kutta方法§6.3线性多步法§6.4收敛性与稳定性§6常微分方程数值解法考虑一阶常微分方程的初值问题:例如：其解析解为：§6.1基本离散方法但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。例如：其解析解为：很难得到其解析解例如：其解析解为只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。因此，只能依赖

2、于数值方法去获得微分方程的数值解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0

3、i=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差。定义:若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。收敛性：考察局部误差的传播和积累2、向后差商公式是隐格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出3、中心差商公式是多步，2阶格式，该格式不稳定对微分方程积分有:类似，可以算出其误差估计式：2阶的方法所以，有是个隐式的方法，要用迭代法求解局部截断误差4、梯形公式5、欧拉公式的改进：隐式欧拉法向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故

4、称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式。中点欧拉公式（欧拉二步法）中心差商近似导数x0x2x1假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-stepmethod*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-stepmethod*/。方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单精度低稳定性最好精度低,计算量大精度提高计算量大精度提高,显式多一个初值,可能影响精度改进欧拉法Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到Euler方法、隐式Euler方法、梯形方法与单步

5、法计算公式的显式单步法对应关系隐式单步法显式Euler方法隐式Euler方法梯形方法(隐式)6.1.3总结算例：分别用Euler公式和改进的Euler公式求解：取步长，计算y(0.5)的近似值解：欧拉公式：改进的Euler公式：算例分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法初值问题解：取h=0.1，(1)Euler方法为:续算例分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法解初值问题解：取h=0.1，梯形方法为：续算例分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法解初值问题解：取h=0.1，梯形方法为：预估－校正Euler方法：续Eul

6、er方法梯形方法预估－校正方法0.01.0000000.01.0000000.01.0000000.00.11.0000004.8×10－31.0047627.5×10－51.0050001.6×10－40.21.0100008.7×10－31.0185941.4×10－41.0190252.9×10－40.31.0290001.2×10－21.0406331.9×10－41.0412184.0×10－40.41.0561001.4×10－21.0700962.2×10－41.0708004.8×10－40.51.0904901.6×10－21.1062782.5×10－41.10

7、70765.5×10－40.61.1314411.7×10－21.1485372.7×10－41.1494045.9×10－40.71.1782971.8×10－21.1962952.9×10－41.1972106.2×10－40.81.2304671.9×10－21.2490193.0×10－41.2499756.5×10－40.91.2874201.9×10－21.3062643.1×10－41.3072286.6×10－41.01.3486781.9×10－21