数值分析--第9章_常微分方程初值问题数值解法.ppt

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1、第9章常微分方程初值问题数值解法9.1引言9.2简单的数值方法与基本概念9.3龙格-库塔方法9.4单步法的收敛性与稳定性9.5线性多步法9.6方程组和高阶方程9.1引言科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题.这类问题最简单的形式，是本章将着重考察的一阶方程的初值问题我们知道，只有f(x,y)适当光滑—譬如关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件理论上就可以保证初值问题的解y＝f(x)存在并且唯一.虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.所

2、谓数值解法,就是寻求解y(x)在一系列离散节点上的近似值y1,y2,,yn,yn+1,.相邻两个节点的间距hn=xn+1-xn称为步长.今后如不特别说明，总是假定hi=h(i=1,2,)为定数,这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,)(等距节点).初值问题的数值解法有个基本特点，他们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法，只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.首先，要对微分方程离散化，建立求解数值解的递推公式.一类是计算yn+1时只用到前一点的值

3、yn，称为单步法.另一类是用到yn+1前面k点的值yn,yn-1,,yn-k+1，称为k步法.其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解yn与精确解y(xn)的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题.9.2简单的数值方法与基本概念9.2.1欧拉法与后退欧拉法我们知道，在xy平面上，微分方程(1.1)式的解y=f(x)称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x,y)的切线斜率等于函数f(x,y)的值.如果按f(x,y)在xy平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.基于上述几何解释，我

4、们从初始点P0(x0,y0)出发,先依方向场在该点的方向推进到x=x1上一点P1，然后再从P1点依方向场在该点的方向推进到x=x2上一点P2,循环前进做出一条折线P0P1P2.一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn,yn)依方向场的方向再推进到Pn+1(xn+1,yn+1)，显然两个顶点Pn,Pn+1的坐标有关系这就是著名的(显式)欧拉(Euler)公式.若初值y0已知，则依公式(2.1)可逐次逐步算出各点数值解.即例1用欧拉公式求解初值问题解取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为其中xn=nh=0.1n(n=0,1,

5、,10),已知y0=1,由此式可得依次计算下去，部分计算结果见下表.与准确解相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.xn欧拉公式数值解yn准确解y(xn)误差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.0373310.052719欧拉公式具有明显的几何意义,就是用折线近似代替方程的解曲线，因而常称公式(2.1)为欧拉折线法.还可以通过几

6、何直观来考察欧拉方法的精度.假设yn=y(xn),即顶点Pn落在积分曲线y=y(x)上，那么，按欧拉方法做出的折线PnPn+1便是y=y(x)过点Pn的切线.从图形上看,这样定出的顶点Pn+1显著地偏离了原来的积分曲线，可见欧拉方法是相当粗糙的.为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开将y(xn+1)在xn处展开，则有在yn=y(xn)的前提下，f(xn,yn)=f(xn,y(xn))=y(xn).于是可得欧拉法(2.1)的公式误差为称为此方法的局部截断误差.如果对方程(1.1)从xn到xn+1积分，得右端积分用左矩形公式hf(

7、xn,y(xn))近似，再以yn代替y(xn)，yn+1代替y(xn+1)也得到欧拉公式(2.1)，局部截断误差也是(2.3).称为(隐式)后退的欧拉公式.如果右端积分用右矩形公式hf(xn+1,y(xn+1))近似，则得到另一个公式后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别,后者是关于yn+1的一个直接计算公式，这类公式称作是显式的；前者公式的右端含有未知的yn+1，它实际上是关于yn+1的一个函数方程,这类方程称作是隐式的.显式与隐式两类方法各有特点，考了到数值稳定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但使用显式算法远比隐式方便

8、.隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显式化.设用欧拉公式给出迭代初值，用它代入(2.5)式的右端，使之转化为显式，直接计算得然后再用代入(2.5)式，又有如此反复进行，得由于f(x,y)对y满足Lipschitz条件(1.3).由(2