数系的扩充与复数.ppt

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1、数系的扩充与复数引入考纲解读1.理解复数的有关概念．2.理解复数的代数表示以及四则运算，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.3.了解复数的几何意义.1.复数的运算是新增内容．复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘除法按二项式乘法法则进行；③乘方按二项式展开公式进行．因此，一些复数问题只要设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决．对i的自然数次幂的周期性的性质也应掌握.2.从试题层次来看，本节内容在高考试题中曾以填空题形式为主．填空题为中低档题。3.近几年高考对复数的考查主要是考查复数的概念、分类、代数形式的运算及模的计算

2、问题和复数的几何意义（如距离，斜率等）．4.预计在2011年高考中仍可能延续此思路．基础知识梳理1．复数的定义设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C.2．复数的分类复数a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0；是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0；是虚数的充要条件是b≠0.3．复数相等两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2⇔a＝c且b＝d.4．复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，

3、y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数z＝a＋bi一一对应有序数对(a，b)一一对应点Z(a，b)．(3)设＝a＋bi，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作

4、a＋bi

5、，且

6、a＋bi

7、＝.5．共轭复数如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi.6．复数的运算(1)复数的加、减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数的乘法①设z1＝

8、a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.②复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.③两个共轭复数z与的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·＝＝

9、z

10、2.(3)复数的除法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)，则.高考题展示1．(2009年高考天津卷)i是虚数单位，则＝________.答案：－

11、1＋2i2．(2009年高考福建卷)复数i2(1＋i)的实部是________．解析：i2(1＋i)＝－1×(1＋i)＝－1－i，所以实部为－1.答案：－13．(2009年高考江苏卷)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．解析：(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，故(z1－z2)i的实部为－20.答案：－20答案：1－i5．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于第________象限．解析：z＝z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，为第四象限的点．答案：四•6、（2

12、010上海文数）若复数z12izzz（i为虚数单位），则7、（2010北京理数9）在复平面内，复数•2i•对应的点的坐标为。1i••8、（2010江苏卷2）设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为____考点一复数的有关概念3．处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题．（如数学之友例1，例2）已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【思路点拨】根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它

13、们的充要条件可分别求出相应的a值．∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．【点评】由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分别为与a2－5a－6.①求解第(1)小题时，仅注意虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第(2)小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第(3)小题时，既要考虑实部为0(当然也要考虑分母不为0)，还需考虑虚部不为0，两者缺一不可．考点二利用复数相等解决有