数系的扩充与复数

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1、数系的扩充与复数一、知识导学1.1、复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部，称做虚数单位.2.2、分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.3.3、复数集：全体复数所构成的集合.4.4、复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.5.5、复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.6.6、复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；7、共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这

2、两个复数互为共扼复数8、复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.9、重要结论（1）对复数z、、和自然数m、n，有，，(2)，，，；，，，.(3)，，.(4)设，，，，，二、疑难知识导析1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．则，而，则不一定成立，如时；3．，而则不一定成立；4．若不一定能推出；5．若，则=，但若则上式不一定成立.6、对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认

3、识并逐渐体会.7、在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当时，不总是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、典型例题解析1、判断正误练习判断下面说法是否正确，如果并说明原因。（1）是纯虚数；（2）在复平面内，原点也在虚轴上；分析：先判断正误，若错误考虑如何纠错？或直接改正或举反例试之。（1）错误。因为当时，不是纯虚数。（2）错误。因为原点不在虚轴上。2、探究性问题已知关于的方程有实根，求实数的取值。　分析：注意不能用判别式△来解。如：∵方程有实根∴错误的原因是虚数不能比较大小，因此涉及到大小问题的概念和理论如与不等式有关的判别解：设

4、方程的实根为x0，则整理得：由复数相等的条件知：3、复数的分类例题例实数分别取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。解：实部，虚部（1）当时，Z是实数；（2）当，且时，Z是虚数；（3）当或时是纯虚数．4、复数的相等例题例已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y．思路分析因为y是纯虚数，所以可设，代入等式，把等式的左、右两边都整理成形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b值．解答设代入条件并整理得由复数相等的条件得解得∴思维诊断一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一

5、重要思想，化复数问题为实数问题得以解决．在解此题时，学生易忽视y是纯虚数这一条件，而直接得出等式进行求解，这是审题不细所致．5、复数与复平面上的点的对应关系的例题例设复数和复平面的点Z（）对应，、必须满足什么条件，才能使点Z位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？分析：本题主要考查复数与复平面的点Z（）建立一一对应的关系．解：（1）（2）且（3）（4）6、求点的轨迹的例题例已知关于t的一元二次方程（1）当方程有实根时，求点的轨迹方程．（2）求方程的实根的取值范围．思路分析（1）本题方程中有三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个

6、等式，而结论是要求动点的轨迹方程，联想到解析几何知识，求的轨迹方程就是求关于的方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t，问题得解（2）由上面解答过程中的②知可看作一条直线，由③知是一个圆，因此求实根t的范围可转化为直线与圆有公共点的问题．解答（1）设实根为t，则即根据复数相等的充要条件得由（2）得代入（1）得即……（3）∴所求点的轨迹方程为，轨迹是以（1，－1）为圆心，为半径的圆．（2）由（3）得圆心为（1，－1），半径，直线与圆有公共点，则，即∴，故方程的实根的取值范围为．思维诊断此题涉及到复数与解析几何的知识，综合性较强，学生往往不易入手，审题不到位，且有畏惧

7、心理，是思维受阻的主要因素，在第（2）题求实根的取值范围时还可由（1）（2）消去y建立关于实数x的二次方程，用判别式求出t的范围．同时通过本题，同学们要进一步认识，把复数问题转化为实数问题求解的必要性，这是解决有关复数与方程问题惯用的手法，要切实掌握好．7、复数的分类例题例m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？思路分析本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，