正四面体与正方体例话.ppt

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1、序曲十年高考多面体出题偏爱正方体拿着正方变魔方演出多少好题和妙题正四面体与正方体例话1一、正方体高考十年十年来，立体几何的考题一般呈“一大一小”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时,势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体.其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.正四面体与正方体例话2考题1（正方体的侧面

2、展开图）考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题①、②为假，而命题③、④为真，答案是C.解析（2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④3（2002年）在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是考题2（正方体中主要线段的关系）射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.平移法：可迅速

3、排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.解析4（2003年）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为考题3（正方体与正八面体）解析将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的，再乘得.答案选C.5练习（07四川卷）4．如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°6二、正四面体与正方体从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体

4、在立体几何中的特殊地位.在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”.我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出斜三棱锥？正四面体与正方体例话ACA1B1D1C1DB7考题1（正四面体化作正方体解）(2009年)一个四面体的所有棱长都是,四个顶点在同一球面上,那么此球表面积是（）3π4π5π6π28拙解——硬碰正四面体9联想——、、的关系10妙解——从正方体中变出正四面体以长为面

5、对角线，可得边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，则其外接球的表面积为S=4πR2==4π()2＝3π以为棱长的正四面体B-A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3π.答案为A.11寻根——正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3.这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有58个.至此可以想

6、通，正方体为何成为多面体的题根.12解正四面体统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了.其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！正四面体与正方体例话13（2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面

7、如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A.B.C.D..PDA1P.C1B22A1PC1妙解（找老子解儿子）答案为C14拙解（就儿子解儿子）如图所示：即求三角形PCD的面积.因为CD=2，四面体A-BCD是正三棱锥，则PD=PC，三角形PCD是等腰三角形.过P作CD的中线交CD于Q，则球心在PQ上.连BQ，AQ，则AQ=BQ,因为O在PQ上，则PQ是线段AB的中垂线.即Q是AB的中点.15练习（山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BE

8、C分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为（   ）A.B.C.D.16以此正四面体来构造正方体，则正方体的棱长为，正方体外接球的直径的长为,外接球的半径为。解析：17（1）由正方体变出正四面体；（2）由正方体变出正八面体；（3）由正方体变出正棱柱、直棱柱；（4）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；（5）由正方体变出斜三棱锥：D—A1B1C1小结正方体是多面的“题根”ACA1B