高一数学正四面体与正方体

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1、正四面体与正方体在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”.我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？【考题1】（正四面体化作正方体解）四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3πB.4πC.3πD.6π【说明】本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题.此时的解法也就沦为拙解.【拙解

2、】正四面体棱长为底面ABC是边长为的正三角形△ABC的高线BD=·=（斜高VD=）△ABC的边心距HD=·=正四面体V—ABC的高正四面体外接球的半径为高的，即R=·故其外接球的表面积为3π.答案是A.【联想】、、的关系正四面体的棱长为，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线”围成？为此，在棱长为1的正方体B—D1中，（1）过同一顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD；（2）将顶点A1，C1，D依次首尾连结.则三棱锥B—A1C1D是棱长为的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.【妙解】从正方

3、体中变出正四面体以长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，则其外接球的表面积为S=4πR2=4π()2＝3π以为棱长的正四方体B—A1C1D以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3π.【寻根】正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3.这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有=58个.至此可以想通，正

4、方体为何成为多面体的题根.