牛顿插值法原理及应用

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1、牛顿插值法 插值法是利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)。插值函数插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x)

2、在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn（设a≤x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x)，使得P(xi)=yi,则称P(x)为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。⑱牛顿插值法C程序 程序框图#includevoidmain(){   floatx[11],y[11][11],xx,temp,newton;   inti,j,n;   printf("Newton插值:请输入要运算的值:x=");   scanf

3、("%f",&xx);   printf("请输入插值的次数(n<11):n=");   scanf("%d",&n);   printf("请输入%d组值:",n+1);   for(i=0;i1)               y[i][

4、j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);           else           y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);                  printf("%f",y[i][i]);    }   temp=1;newton=y[0][0];      for(i=1;i

5、f)=%9f",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序functionf=Newton(x,y,x0)symst;if(length(x)==length(y))   n=length(x);c(1:n)=0.0;else⑱   disp('x和y的维数不相等！');   return;endf=y(1);y1=0;l =1;for(i=1:n-1)     for(j=i+1:n)       y1(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));   end   c(i)=y1(i+1);        l=l*(t-x(i));     f=

6、f+c(i)*l;   simplify(f);   y=y1;   if(i==n-1)       if(nargin==3)           f=subs(f,'t',x0);       else           f=collect(f);               %将插值多项式展开           f=vpa(f,6);       end   end ⑱牛顿插值法摘要：值法利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它

7、为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。　　牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：　　f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1