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1、计算方法第二章插值法2021/7/291第二章插值法2.1引言2.2拉格朗日插值2.3差商与牛顿插值公式2.4差分与等距节点插值2.5埃尔米特插值2.6分段低次插值2.7三次样条插值2021/7/292本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念，及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.2021/7/2932.1引言能否存在一个性能优良、便于计算的函
2、数一、插值问题2021/7/294这就是插值问题，上式为插值条件其插值函数的图象如下图2021/7/2952021/7/296二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式且满足--------(2)--------(3)72021/7/29--------(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式82021/7/29定理1.由Cramer法则,线性方程组
3、(4)有唯一解--------(2)--------(3)则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法92021/7/29三、插值法的类型且满足其中为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值2021/7/29102.2拉格朗日插值此插值问题可表述为如下：问题求作次数多项式，使满足
4、条件这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下统称为Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。2021/7/29112021/7/2912问题已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求作一次式，使满足条件其几何意义，就是通过两点的一条直线。2.2.1线性插值与抛物插值一、线性插值—点斜式2021/7/2913L12021/7/2914由直线两点式可知，通
5、过A，B的直线方程为称为线性插值(n=1的情况)，分为内插与外推。适用情况：很小时2021/7/2915也可表示为如下对称形式：其中，显然，2021/7/2916线性插值举例例1:已知，，求代入点斜式插值多项式得y=10.71428精确值为10.723805，故这个结果有3位有效数字。2021/7/2917问题求作二次式，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足下式：二、抛物插值2021/7/29182021/7/29
6、19x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(121–100)(121–144)L2(115)=(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*10+(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228抛物插值举例2(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(
7、x1)+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(x)=和用线性插值相比，有效数字增加一位2021/7/2920为了构造，我们先定义n次插值基函数。2.2.2拉格朗日n次插值多项式定义：若n次多项式在n+1个节点上满足条件2021/7/2921n+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：2021/7/2922且从而2021/7/2923总结称为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称为n次拉格朗日插值基函数2021/7/292
8、4例3：求过点(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多项式。2021/7/29252021/7/29262021/7/29272021/7/29282.2.3插值余项与误差估计一、插值余项满足不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？2021/7/29292021/7/2930令设其中证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为2021/7/2931若引入辅助函数2021/7/2932根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此
