建筑力学电子教案_重心和形心

建筑力学电子教案_重心和形心

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时间:2017-12-02

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1、重心和形心工程实践中常常需要计算或测定结构物重心的位置,而求物体重心的问题,实质上就是求平行力系的合力问题。任一物体都由无数个微元体组成,这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力(即地球的吸引力)Pi,其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸,这个力系可看作一同向的平行力系,其合力即为物体的重量,而此力系的中心则为物体的重心。§5-1重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio右图是

2、一个空间力系,则P=∑ΔPi合力的作用线通过物体的重心,由合力矩定理即于是有zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio同理有为确定zC,将坐标系连同物体绕y轴转90º,使重力与x轴平行,得2.均质物体的重心坐标公式这时物体容重g是常量,则于是有zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCziO上式也就是求物体形心位置的公式。即对于均质的物体,其重心与形心的位置是重合的。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCziO3.均质等厚薄板的重心和平面图形的形心对于均质等厚的薄板,如取平分其厚

3、度的对称平面为xy平面,则其重心的一个坐标zC等于零。设板厚为d,则有V=A·d,ΔVi=ΔAi·d则上式也即为求平面图形形心的公式。§5-2确定重心和形心位置的具体方法(1)积分法;(2)组合法;(3)悬挂法;(4)称重法。具体方法:1.积分法对于任何形状的物体或平面图形,均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体,则有若为平面图形,则例5-1用积分法求下列平面图形的形心位置。b(y)ydyC2ROxy解:建立如图所示坐标系,则xC=0现求yC。则b(y)ydyC2ROxy代入公式有b(y)ydyC2ROxy2.组合

4、法当物体或平面图形由几个基本部分组成,而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时,可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。下面通过例子来说明。例5-1角钢截面的尺寸如图所示,试求其形心位置。y15020x20200O(a)y15020x20200O12(b)解:取Oxy坐标系如图(b)所示,将角钢分割成两个矩形,则其面积和形心为:A1=(200-20)×20=3600x1=10mmy1=110mmA2=150×20=300015020x20200Oy12(b)x2=75mmy2=10mm由组合法,得到xC=A1+A2A1x1+

5、A2x2=39.5mmC(xC,yC)15020x20200Oy12(b)yC=A1+A2A1y1+A2y2=64.5mm另一种解法:负面积法15020x20200Oy1将截面看成是从200mm×150mm的矩形中挖去图中的小矩形(虚线部分)而得到,从而A1=200×150=30000mm2x1=75mm,y1=100mmA2=-180×130=-23400mm2故xC=30000×75-23400×8530000-23400=39.5mmyC=30000×100-23400×11030000-23400=64.5mm两种方法的结果相同。x2=85

6、mm,y2=110mm15020x20200Oy13.悬挂法以薄板为例,只要将薄板任意两点A和B依次悬挂,画出通过A和B两点的铅垂线,两条铅垂线的交点即为重心C的位置,如图。想一想,为啥?ABABC4.称重法对较笨重的物体,如汽车,其重心测定常采用这种方法。图示机床重2500N,现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此,在B处放一垫子,在A处放一秤。当机床水平放置时,A处秤上读数为1750N,当θ=20º时秤上的读数为1500N。试算出机床重心的坐标。思考题5-1yx2.4mCBAθ边长为a的均质等厚正方形板ABCD,被截去等腰三角形AEB。试求点E的

7、极限位置ymax以保证剩余部分AEBDC的重心仍在该部分范围内。ABCDEymaxaaxy例题5-2:解:采用负面积法分析xC=2a极限位置yC=ymaxⅠ:Ⅱ:ABCDEymaxaaxyyC=-A1+A2-A1y1+A2y2,即解方程得ABCDEymaxaaxyⅠⅡ展开得

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