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1、四 渐开线与摆线1.渐开线(1)把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.(2)圆的渐开线的参数方程:2.摆线(1)圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线.(2)圆的摆线的参数方程:名师点拨1.渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹,圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.2.渐开线上任一点M的坐标由圆心角(以弧度为单位)唯一确定,而在圆的摆线中,圆周上定点M的位
2、置也可以由圆心角唯一确定.3.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,既烦琐又没有实际意义.做一做1半径为2的圆的渐开线的参数方程为()答案：C做一做2半径为2的圆的摆线的参数方程为()答案：C思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)只有圆才有渐开线.()(2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到不同的图形.()(3)对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线的形状就不同.()(4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程.()××
3、×√探究一探究二思维辨析圆的渐开线、摆线的参数方程的理解探究一探究二思维辨析反思感悟利用圆的渐开线、摆线的参数方程解决相关问题时,一是要牢记参数方程的基本形式,二是要明确参数方程中每个字母所表示的含义,注意结合三角函数的相关知识加以解决.探究一探究二思维辨析【例2】已知生成摆线的圆的直径为80mm,则摆线的参数方程为.分析：直接代入摆线的参数方程即可.探究一探究二思维辨析反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开角度的大小.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析渐开线、摆线的参
4、数方程的应用【例3】已知圆的直径为2,其渐开线的参数方程对应的曲线上的A,B两点所对应的参数分别是,求A,B两点间的距离.分析：先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B所对应的参数分别代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点间的距离公式求得A,B间的距离.探究一探究二思维辨析反思感悟根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知在渐开线的参数方程中,字母r是指基圆的半径,而不是直径.圆的渐开线上任一点的坐标由参数φ确定,因此只需将点对应的参数代入参数方程中,即可求出相应的点的坐标.探究一探究二思维辨析变式训练3设摆线(t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相交于A,B两
5、点,求A,B两点间的距离.探究一探究二思维辨析对参数φ的几何意义理解不全面致误典例已知一个圆的摆线经过定点(1,0),请写出该摆线的参数方程.错解令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=0,代入x=r(φ-sinφ)可得x=0.故此题无解.正解令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=r(φ-sinφ)可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.纠错心得本题错解在于由cosφ=1直接得出φ=0,导致答案错误,这是由于对参数φ的意义理解不全面而导致的.探究一探究二思维辨析变式训练若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐标可能
6、是()A.πB.5πC.10πD.12π解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为(φ为参数),把y=0代入可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).而x=5φ-5sinφ=10kπ(k∈Z).根据选项可知应选C.答案：C123451.已知圆的渐开线的参数方程为(φ为参数),则此渐开线对应基圆的面积是()A.1B.πC.2D.2π解析：由参数方程知基圆的半径为1,故其面积为π.答案：B12345答案：A123453.若一个圆的渐开线的参数方程为(φ为参数),则相应的摆线的参数方程为.123454.已知圆的方程为x2+y2=25,点P为其渐开线上一点,对应的参数φ=,则点P
7、的坐标为.123455.有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓线所在圆的渐开线的参数方程.解：因为基圆的直径为22mm,所以基圆的半径为11mm,因此齿廓线所在圆的渐开线的参数方程为
