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1、频率域图像增强是指在图像的频率域中对图像进行某种处理的方法。这种方法以傅立叶变换为基础，也即先通过傅立叶变换把图像从空间域变换到频率域，然后用频率域方法对图像进行处理，处理完后再利用傅立叶反变换把图像变回空间域。5.1二维离散傅里叶变换5.1二维离散傅里叶变换由于离散傅里叶变换描述了离散信号的时域及空间域表示与频域表示的关系，所以利用基于离散傅里叶变换的时域与频域分析方法可解决大多数图像处理问题，因而离散傅里叶变换在图像处理领域获得了极为广泛的应用。由于二维离散傅里叶变换对应地可以描述成一个二维函
2、数，所以下面介绍应用于图像处理的。1、二维离散傅里叶变换的定义5.1.1二维离散傅里叶变换的定义及意义设f(x,y)是在空间域上等间隔采样得到的M×N的二维离散信号，x和y是离散实变量，u和v为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为：(u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1)(5.1)(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1)(5.2)1、二维离散傅里叶变换的定义在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶变换对定义为：
3、(5.3)(5.4)其中，x,y,u,v=0,1,…,N-1；5.1.1二维离散傅里叶变换的定义及意义将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为f(x,y)的功率谱，记为：(5.7)反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。1、二维离散傅里叶变换的定义与一维时的情况类似，可将二维离散傅里叶变换的频谱和相位角分别定义为：(5.5)(5.6)5.1.1二维离散傅里叶变换的定义及意义5.1.1离散傅里叶变换的定义及意义-频谱示例5.1.1离散傅里叶变换的定义及意义-频谱示例5.1.1离散傅里叶变换的
4、定义及意义-频谱示例5.1.1离散傅里叶变换的定义及意义-频谱示例2、图像傅里叶变换的意义（1）简化计算，也即傅里叶变换可将空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。（2）对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空间域，从而可达到简化处理和分析的目的。（3）某些只能在频率域处理的特定应用需求，比如在频率域进行图像特征提取、数据压缩、纹理分析、
5、水印嵌入等。5.1.1二维离散傅里叶变换的定义及意义性质包括：线性性、可分离性、平均值性质、周期性、共扼对称性、空间位置和空间频率的平移性、旋转性、尺度变换性、卷积性质等。本节仅介绍几种比较重要且与书中内容有关的性质。5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质1、变换系数矩阵5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质根据变换式(5.4)，由于u和v均有0,1,…,N-1的N个可能的取值，所以f(x,y)由N2个频率分量组成，所以每个频率分量都与一个特定的(u,v)值相对应；且对于某个特定的(u,v
6、)值来说，当(x,y)取遍所有可能的值(x=0，1，…，N-1；y=0，1，…，N-1）时，就可得到对应于该特定的(u,v)值的一个变换系数矩阵：5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质1、变换系数矩阵可见，该矩阵的值仅与N有关，与f(x,y)无关。2、可分离性式(5.3)和式(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成如下的分离形式：(5.9)(5.10)上述的可分离表示形式说明，可以连续运用两次一维DFT来实现一个二维DFT。5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质然后再对F(x,v)沿x方向进
7、行一维的(列)变换而得到最后结果：(5.12)2、可分离性以式(5.9)：为例，可先沿y轴方向进行一维的(行)变换而求得：(5.11)5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质2、可分离性行变换列变换5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质3、平均值一幅图像的灰度平均值可表示为：(5.13)如果将u=v=0代入式(3.28)：可得：(5.14)所以，一幅图像的灰度平均值可由DFT在原点处的值求得，即：(5.15)5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质4、周期性对于M×N的图像和二维离散傅里叶
8、变换对的一般定义式(5.1)和(5.2)，F(u,v)的周期性定义为：(m,n=0,±1,±2,…）(5.17)5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质5、共轭对称性设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共轭对称性：(5.18)(5.19)5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质6、平移性对于M×N的图像f(x,y)和二维离散傅里叶变换对的一般定义式(5.1)和(5.2)，若设用符号表示函数与其傅里叶变换的对应性，则傅里叶变换的平移性可表示为：(5.20)(5.
