常微分方程参考试题.doc

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1、常微分方程参考试卷一、填空题<30%）1．若y=y1(x>，y=y2(x>是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基

2、行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个．二、计算题<40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5/55．三、证明题<30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．常微分方程综合练习参考答案一、填空题1．2．平面3．充分4．5．线性无关6．平面7．，8．；或9．充分必要10．二、计算题1．解：令，则当时等号两边积分5/52．解

3、：令，则代入方程得即再令，则得所以3．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即4．解特征方程为即特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为5/5所以，原方程组的通解为5．解：特征方程为特征根为满足解得取，则．于是三、证明题1．证：由于在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显然是方程的两个特解．现任取，，记为过的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在区间必为．b5E2RGbCAP

4、2．证明设为方程任一解满足，由常数变易法有于是5/5=0+3．证明由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远．p1EanqFDPw又由已知条件，知是方程的一个解．且在上半平面，有；在下半平面，有．现不妨取点属于上半平面，并记过该点的解为．由上面分析可知，一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过轴，否则与唯一性矛盾．故解存在区间必为DXDiTa9E3d申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。5/5