曲线积分与曲面积分a.doc

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1、第十章曲线积分与曲面积分一、两类曲线积分、曲面积分都是有实际物理背景的，它们的定义都可以从计算有关的物理量中抽象出来，例如计算曲线形构件的质量、变力沿曲线所做的功、流体的流量等，因此在学习时可以结合这些物理量来理解、记忆这两类积分。二、第一类曲线积分、第一类曲面积分与二重积分、三重积分可以统一定义为几何形体上的积分其中是有界、可度量的几何量<曲线段、曲面、平面区域、空间立体区域），为上的有界函数，，是将任意划分成的个小部分，它们的度量大小仍记为，为上的任意一点，为的直径，。b5E2RGbCAP下面按照的

2、不同形态给出上积分的具体表示形式及名称：的形态表示形式名称是平面区域二重积分是空间立体三重积分是平面曲线段<或空间曲线）<或第一类曲线积分是曲面第一类曲面积分三、利用积分的统一定义，可以将重积分的全部性质一一推广到第一类曲线积分和第一类曲面积分。由两类曲线积分和两类曲面积分之间的联系，可知第二类曲线积分与第二类曲面积分同样具有线性性质和对积分区域的可加性。p1EanqFDPw需要特别注意的是第一类曲线积分、曲面积分与方向无关，第二类曲线积分、曲面积分与方向有关，这一点可以通过它们各自的定义很容易地得到解

3、释。DXDiTa9E3d四、第一类曲线积分的计算是将积分转化为以某个参数为积分变量的定积分来处理，即首先写出积分路径的参数表达式，同时以其代被积函数的各个变量和弧微分3/3，且不管起点与终点对应的参数值大小如何，必须将小的参数值作为积分下限，大的参数值作为积分上限。原因很简单，第一类曲线积分定义里的是弧长，自然有，而转化为参数方程的弧微分为，要保持，显然要求，从而必有积分上限大于下限。RTCrpUDGiT五、平面上第二类曲线积分的计算归纳起来有如下几种方法：1．直接化为定积分。以积分路径的参数表达式代积

4、分中的相应变量，且以起点处的参数值作为积分下限，终点处的参数值作为积分上限<注意：此时积分上限不一定大于积分下限！）。5PCzVD7HxA2．若在单连通域内有，则曲线积分与路径无关，故可以选择以为起点、以为终点的特殊路径来计算积分，通常取平行于坐标轴的折线段来计算。<需要注意的是，实际运算时应该根据具体情形选择最为合适的积分路径，例如本章作业题<练习二）的第三题，选取到的直线段为积分路径远比选取折线段要好！）jLBHrnAILg3．利用格林公式来计算曲线积分1）当积分路径为封闭曲线时，可将曲线积分转化为

5、由所围成的平面区域上的二重积分来计算。使用格林公式时需要注意以下两个条件：<ⅰ）要保证、在闭区域上具有一阶连续偏导数；<ⅱ）封闭曲线的方向必须取正向，否则需要在二重积分前加一负号。2）当积分路径不是封闭曲线时，需要适当添加辅助线使之形成封闭曲线，然后才能使用格林公式，最后需要将添加曲线上的积分减去<添加辅助线时要求辅助线上的积分容易求出）。xHAQX74J0X3>当曲线积分在内有奇点时，一般可以利用小闭曲线包围<挖掉）奇点，然后在复连通区域上使用格林公式。当然，由于最后仍然需要减去小闭曲线上的积分，所以

6、小闭曲线的选取同样要有利于计算积分。LDAYtRyKfE六、第一类曲面积分的计算是通过将其转化为曲面在某坐标面<例如面）的投影区域上的二重积分来实现的，只要将曲面的投影区域3/3确定出来，同时将被积函数中的变量用、用来代替，然后求相应的二重积分即可。Zzz6ZB2Ltk七、第二类曲面积分与曲面的侧有关，若改变曲面的侧，则积分需要改变符号。第二类曲面积分的计算有如下三种方法：1．将曲面方程用显函数表达后代入被积表达式，化为曲面在相应坐标面投影区域上的二重积分，注意曲面的取向以确定二重积分前面加“”或“”。

7、dvzfvkwMI12．利用高斯公式。若为封闭曲面外侧，且在及所围成的立体内、、有连续偏导数，则可直接利用高斯公式将上的曲面积分转化为上的三重积分来计算。rqyn14ZNXI若为非封闭曲面，可添加适当的平面<曲面）使曲面封闭，然后在封闭曲面上利用高斯公式，最后将添加平面<曲面）上的积分减去即可。当然，这里同样要求添加平面<曲面）上的积分易求。EmxvxOtOco3．将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分计算，这也是一种常用的方法，特别适用于曲面在有的坐标面上的投影区域不易表示的情形。SixE2yXPq5八

8、、本章的三个重要公式：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式需要大家掌握：公式成立的条件、适用范围、公式表达。这三个公式对我们简化相应的积分计算很有帮助，希望大家在学习时尽量使用以熟练掌握。而这三个公式以及它们与曲线积分、曲面积分的计算之间的关系见下图。6ewMyirQFL计算定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算Green公式Stokes公式Guass公式申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。kavU42VRUs3/3