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1、圆与三角函数知识点：垂直的证明方法(1)当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径,也就是“作垂直,证半径”。b5E2RGbCAP(2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线，也就是“连半径,证垂直”p1EanqFDPw例1.如图，Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=2,以AB上的一点0为圆心作⊙O分别与AC．BC相切于点D，E。DXDiTa9E3d(1>求⊙O的半径。(2>求sin∠BOC的值。例2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交B
2、C于点D，DE⊥AC于点E。(1>求证：DE为⊙O的切线(2>若BC=4，AE=1，求cos∠AEO的值。RTCrpUDGiT●专项训练：1．如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点D为圆心，OA为半径的⊙O与EC相切于点D，AD∥BC.(l>求证：∠E=∠ACB:(2>若AD=1,tan∠DAC=，求BC的长．5PCzVD7HxA2．如图，已知点0是Rt△ABC的直角边AC上一动点，以D为圆心，OA为半径的⊙O交AB于D点，DB的垂直平分线交BC于F,交BD于E。(l>连结DF，请你判断直线DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论jLBHrnAILg(2
3、>当点D运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tan∠B。3．如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F.(1>求证；直线DE是⊙O的切线；(2>当AB=5，AC=8时，求cos∠E的值．xHAQX74J0X4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点0为圆心，过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点EEF⊥AC于点F。LDAYtRyKfE(1>求证：⊙O与AC相切：(2>若EF=2，BC=4，求tan∠A的值。5．如图，△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点
4、C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。Zzz6ZB2Ltk3/3(1>求证：CD为⊙O的切线。(2>连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan∠FAE。初三承诺班晚辅专题答案<54期）圆与三角函数1、证：(1>：连OE,OD，证四边形OECD为正方形，设半径为R，=,R=；(2>，作CM⊥AB于M，易求AB=2．AB·CM=BC·AC，∴CM=,易求OC==,∴sin∠BOC==2、解：(1>连OD,∠C=∠ABC=∠ODB.OD//AC,∴∠ODE=∠DEC=90°(2>∠AEO=∠DOE,cos∠AEO=cos∠D
5、OE=，连DA.证CD=BD=2，证△CDE∽△CDA,CD2=CE·CA=CE·(CE+1>∴CE=4,DE==2,OD=AC=，OE==,∴cos∠AEO==cos∠DOE==专练1、答素：(1>连OD，证∠ACB=∠DAO=∠ODA=∠E.(2>tan∠DAC=tan∠E=tan∠ACB=,===∵AD=1,∴AE=,设AB=x，则BC=x，∴=，∴x=,BC=x=22、证：(I>DF与⊙O相切，连OD．证∠OAD=∠ODA,∠FDB=∠B∠ODF=90°(2>连OE，易证==，△AOE∽△ACB，∠AOE=∠C=90°．又AD=DE,∴AD=OD=OA，∠A=60°，t
6、an∠B=tan30°=3、讧：(1>连结OD、BD，证AD=DC，∵OA=OB，∴OD∥BC∵DE⊥BC,∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线。3/3(2>作DH⊥AB，垂足为H，易证∠E=∠ODH，在Rt△ADB中，BD===3,∵AB·DH=DA·DB，即5DH=3×4,∴DH=，在Rt△ODH中，cos∠OOH===,cos∠E=．4、解：①连OD,∠EBD=∠ODB=∠DBC,OD//BC,OD⊥AC(2>设BC交⊙O于M,证矩形EFCM，设OD交EM于N．EF=CM=ND=2，ON=BM=1，OD=3=BEBE=6,∴EM=4,tan∠A=tan∠BEM==5、解：
7、<1>OF=OB,∠FOC=∠BOC,OC⊥BF.证∠AFB=∠M=90°，BF//DM.dvzfvkwMI1(2>，方法一：证CD=BD=PD,△CDP∽△EBP,PC=CE，CDBE=3,PB=6,证△AFE∽△ABP,===在Rt△AFB中，BF=8,∴AF=2，∴tan∠FAE==方法二：连OC交BF于N，证BN=NF=4，EN=2，CN=EN·BN=8，CN=2.tan∠FAE=tan∠CBE==rqyn14ZNXI申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。3/
