三角形中的角平分线.pptx

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1、第一章三角形的证明4角平分线（2）三角形中的角平分线创设问题情境，引入新知。1、复习：角平分线的性质定理及其逆定理分别是什么？2、比比谁做的好：利用尺规作一个三角形三个内角的平分线。展示学生作品，教师总结做法并示范提问：（1）你发现了什么？结论：三角形的三条角平分线相交于一点。（三线共点）（2）你能证明你的结论吗？讲授新知。求证：三角形的三条角平分线相交于一点。已知：如图，在∆ABC中，角平分线BD与角平分线CE相交于点F，过点F分别作AB、BC、AC垂线，垂足分别是M、Q、N。求证：A的平分线经

2、过点F。证明：∵BD是∆ABC的交平分线，点F在BD上∴FM=FQ(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，FN=FQ.∴FM=FQ=FN.∴FM=FN,且FM⊥AB,FN⊥AC∴点F在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。）通过对结论的证明，从证明过程中你还发现了什么？发现了：这一点到三条边的距离相等.总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。练一练已知：如图，∆ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠

3、DAE的平分线上.证明：过点F作FM⊥AC,FQ⊥∆,FN⊥AE,垂足分别是M、Q、N.∵BF是∠CBD的平分线∴FM=FQ.同理，FN=FQ.∴FM=FN∴点F在∠DAE的平分线上.三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点的性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等如右图，在∆ABC中，AC=∆,∠C=90°，AD是∆ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为

4、E.（1）已知CD=4cm.求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)．∵∠C=90°，∴∠B=2(1)×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=42cm(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．课堂练习(2)证明：由(1)的求解过

5、程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．如右图，在∆ABC中，AC=∆,∠C=90°，AD是∆ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E.（1）已知CD=4cm.求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.课堂小结本节课，你学到了什么？布置作业习题1.101题、3题、4题谢谢！