线性代数复习总结.doc

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1、线性代数复习总结大全第一章行列式二三阶行列式N阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和(奇偶)排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式)②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。③常数k乘以行列式的某一行(列),等于k乘以此行列式。推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零;推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。④行列式具有分行(列)可加性⑤将行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,值不变行列式依行(列)展开:余子式、代数余子式定理:

2、行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则:非齐次线性方程组:当系数行列式时,有唯一解:齐次线性方程组:当系数行列式时,则只有零解逆否:若方程组存在非零解,则D等于零特殊行列式:①转置行列式:②对称行列式:③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:方法:用把化为零,。。化为三角形行列式⑤上(下)三角形行列式:行列式运算常用方法(主要)行列式定义法(二三阶或零元素多的)化零法(比例)化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、21第二章矩阵矩阵的概念:(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算:加法(

3、同型矩阵)---------交换、结合律数乘---------分配、结合律乘法注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0转置(反序定理)方幂:几种特殊的矩阵:对角矩阵:若AB都是N阶对角阵,k是数,则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数量矩阵:相当于一个数(若……)单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……)对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵:加法,数乘,乘法:类似,转置:每块转置并且每个子块也要转置注:把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵:设A是N阶方阵,若存在N阶矩阵B的AB=

4、BA=I则称A是可逆的,(非奇异矩阵、奇异矩阵

5、A

6、=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行(列)2.、非零k乘某一行(列)3、将某行(列)的K倍加到另一行(列)初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的(对换阵倍乘阵倍加阵)等价标准形矩阵矩阵的秩r(A):满秩矩阵降秩矩阵若A可逆,则满秩若A是非奇异矩阵,则r(AB)=r(B)初等变换不改变矩阵的秩求法:1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:21都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相

7、等;矩阵,行列式逆矩阵注:①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆;③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A可逆,则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律:1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的,且2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的,且3、可逆矩阵A的转置也是可逆的,且4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的,且但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆,即使可逆,但A为N阶方阵,若

8、A

9、=0,则称A为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。5、若A可逆,则伴随矩阵:A为N阶方阵,伴随矩阵:(代数余子式)特殊矩阵的逆矩阵:(对1和2,前提是每个

10、矩阵都可逆)1、分块矩阵则2、准对角矩阵,则3、4、(A可逆)5、6、(A可逆)7、8、判断矩阵是否可逆:充要条件是,此时求逆矩阵的方法:定义法21伴随矩阵法初等变换法只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系:设是m*n阶矩阵,则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n阶初等矩阵右乘以A(行变左乘,列变右乘)第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组:增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时,有唯一解;当时,有无穷多解r(AB)r(B),无解齐次线性方程组:仅有零解充要r

11、(A)=n有非零解充要r(A)

12、A

13、=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N维向量:由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示(加法数乘)特殊的向量:行(列)向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量向量间的线性关系:线性组合或线性表示向量组间的线性相关(无):定义向量组的秩:极大无关组(定义P188)定理:如果是向量组的线性无关的部分组,则它是极大无关组的充要条件是:中的每一个向量都可由线性表出。秩:极大无关组中所含的向量个数。定理:设A为m*n矩阵

14、,则的充要条件是:A的列(行)秩为r。现性方程组解的

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