高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课件新人教A版.pptx

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1、三　排序不等式【自主预习】1.顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.(1)顺序和:________________.(2)乱序和:________________.(3)反序和:_________________.a1b1+a2b2+…+anbna1c1+a2c2+…+ancna1bn+a2bn-1+…+anb12.排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列

2、,则_________________≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.a1bn+a2bn-1+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn【即时小测】1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是()A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3

3、设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.2.若a

4、1,于是的最大值为3.答案:3【知识探究】探究点排序不等式1.使用排序不等式的关键是什么?提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是否最大?反序和是否最小?提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28,乱序和S=1×4+2×6+3×5=31,S=1×5+2×4+3×6=31,S=1×5+2×6+3×4=29,S=1×6+2×4+3×5=29,顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32.由以上计算知S1

5、归纳总结】1.对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.2.排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.3.排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.4.排序原理的思想在解答数学问题时,常常涉

6、及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.类型一利用排序不等式求最值【典例】设a,b,c为任意正数,求的最小值.【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键是什么?提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,≥≥,由排序不等式得,++≥++++≥++

7、上述两式相加得:2(++)≥3,即++≥.当且仅当a=b=c时,++取最小值.【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是_________,最小值是_________.【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为32;最小值为28.答案:32282.设0

8、bc=1.试求的最小值.【解析】令S=由已知可得:两式相加得:所以S≥即的最小值