师父中师父讲堂第四讲.doc

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1、師父中的師父講堂第四講認識證明……頭腦的五種功能之一◎許志農／國立台灣師範大學數學系正確的知識、錯誤的知識、想像、睡覺和記憶是頭腦的五種能力。頭腦本身既非敵人，亦非朋友，你可以使它成為朋友，你也可以使它成為敵人，它依你而定，依那個隱藏在頭腦背後的你而定。記憶就是過去經驗的喚起，對過去的事情，採取真實而正確的記憶是避免重複犯錯的不二法門。唯有讓頭腦處在正確知識裡，潛意識的直覺（第六感）才會是正確的；意識的推論才會是合乎邏輯的。得到這兩個福報就好像隨身攜帶了火把，無論思緒移動到哪裡，那個黑暗就立刻消失，所到之處都是明亮的，所有的事情都不證自明了。9問題　如

2、下圖所示，滑輪拖著輪船，讓船靠近岸邊。問：滑輪捲動的繩子長度與輪船前進的距離何者較大？請證明之。當人的頭腦處在正確知識中心時，「直覺、直接的認知」和「合乎邏輯的推論」就是辯證時，獲得知識的兩大來源。這兩個來源（直覺、直接的認知與合乎邏輯的推論）構成了數學證明的詩篇。想要讓直接的感應產生，合乎邏輯的推論出現，必須讓頭腦變成「證明」的朋友，也就是讓頭腦處於正確知識裡。唯有讓頭腦處在正確知識中，直覺、直接的認知才會像井水般源源不斷的流出，合乎邏輯的推論才會像泉水般一波接著一波的湧現。讓頭腦儲存或擁有越多數學知識的記憶，使頭腦處在正確知識裡：充足的數學知識，直

3、覺、直接的認知加上合乎邏輯的推論讓我們對數學證明充滿信心。現在就讓我們的頭腦處在正確的知識中心裡！三角形的不等式當你欲從地走到地時，心裡清楚選擇兩地間的直線來走最短，而不會選擇弧線或彎曲的路徑前往。這是因為三角形的不等式這粒種子，不僅早已播種在你的腦海裡，還長出了芽，甚至開了花、結了果。但是偶而還是會忘記它的存在，特別是在沒有知覺的情境之下。直角座標平面的不等式：在〈圖一〉的三角形中，邊長,,滿足「兩邊之和大於第三邊」與「兩邊的差小於第三邊」的三角形不等式，也就是與9地球表面的不等式：在〈圖二〉中，設是地球上的兩個點，顯然圓弧1的半徑＞圓弧2的半徑＞圓

4、弧3的半徑＞圓弧4的半徑，但是圓弧1的長度＜圓弧2的長度＜圓弧3的長度＜圓弧4的長度。也就是說，走半徑最大的圓弧，經過的路徑最短（這是因為半徑越大，其圓弧越接近直線）。因此，飛機從A飛到B時，經常選擇地球的大圓來飛行，這樣最節省時間。〈圖一〉〈圖二〉接下來就讓我們利用三角形的不等式來解決本節的問題：如下圖所示滑輪捲動的繩子長度為而輪船前進的距離為.由三角形的三角形不等式知道即滑輪捲動的繩子長度＜輪船前進的距離。平面幾何證明……最好的邏輯推理訓練讓頭腦的推論合乎邏輯最簡單的訓練或檢驗方式就是從事平面幾何證明：例題1如下圖所示：設與是三角形的外角分角線。證

5、明。〔證〕因為,,所以,因此三角形是等腰三角形，即。因為,,所以因此三角形是等腰三角形，即。綜合得到。練習1如下圖所示：9圓內接四邊形的對角線與互相垂直，且相交於點。若在上，通過點，且與垂直，則證明。矩形分割例題２如下圖所示：利用鉛直線與水平線可將矩形分割成面積依序為的四個小矩形。該如何畫鉛直線與水平線，才能使其滿足下列條件。在何條件下，會滿足在何條件下，會滿足在何條件下，會滿足在何條件下，會滿足〔證〕令大矩形的長被鉛直線分成長度為與的兩個線段；寬被水平線分成長度為與的兩個線段。此時由題意知故當鉛直線或水平線平分大矩形面積時，等式成立。由題意知故當鉛直

6、線平分大矩形面積時，等式成立。由題意知故當鉛直線平分大矩形面積時，等式成立。由題意知故無論鉛直線或水平線為何，等式恆成立。奧修的念珠例題３奧修的念珠是由七顆精選的寶石串起來的，其中標示2的那顆寶石的重量為2克拉。9為了某種目的，這串念珠每顆寶石的重量必須是其左、右兩顆相鄰寶石重量的幾何平均數。試求這串念珠其餘六顆寶石的重量。〔證〕令七顆寶石重量最輕者為克拉，而在最輕者左、右兩顆相鄰寶石重量分別為與克拉。由此假設知道如果，則，即，與矛盾。如果，則，即，與矛盾。因此，即最輕者左、右兩顆相鄰寶石重量與最輕者同重。同法可得，所有的寶石都是相同的重量。故每顆寶石

7、的重量都是克拉。練習２若奧修的念珠是符合「每顆寶石的重量必須是其左、右兩顆相鄰寶石重量的算術平均數」這個條件，則求這串念珠其餘六顆寶石的重量。有了這兩道問題的證明經驗之後，接下來請你解決台大推甄的一道問題：練習３在無窮的平面網格上（由無窮多水平線與垂直線所形成），每一格之內放置一個自然數（可重複），使其每一格的數都等於其相鄰上下左右四格的平均值，即張三說：要完成這樣的配置，必須每一格放置相同的正整數。請問：張三的說法正確嗎？請說出你的論證。數的觀察你知道恆等式有多美嗎？當你可以用它來解決下一道例題的時候，你就可以領悟它的漂亮！例題４如下表所列：正整數都

8、可以寫成從等依序開始的若干個平方和（可以放正負符號修正）。是否每個正整數都可以這樣做。可以的話