考研数学试题答案及评分参考.doc

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1、1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试卷参考解答及评分规范数学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)¥(x-3)n(1)求幂级数å的收敛域.n=1n×3(x-3)n+1解：因lim(n+1)×3n+1=limnx-3=1x-3,故1x-3<1即0

2、).(2)已知f(x)=ex2,f[j(x)]=1-x,且j(x)³0.求j(x)并写出它的定义域.解：由e[j(x)]2=1-x，得j(x)=„„3分ln(1-x).由ln(1-x)³0，得1-x³1即x£0.„„5分所以j(x)=ln(1-x)，其定义域为(-¥,0).(3)设S为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=òòx3dydz+y3dxdx+z3dxdy.s解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有I=3òòò(x2+y2+z2)dv（其中W是由S所围成的区域）„„2分

3、2pp1=3ò0dqò0djò0r2×r2sinjdr„„4分12p.„„5分=56/61988年•第1页6/6二、填空题：(本题满分12分，每小题3分)(1)若f(t)=limt(1+1)2tx，则¢2txx®¥2,-1

4、b,g2,g3,g4)，其中，a,b,g2,g3,g4均为4维列向量，且已知行列式A=4,B=1,则行列式A+B=.40.三、选择题(本题满分15分，每小题3分)(1)若函数y=f(x)有f¢(x)=1，则当Dx®0时，该函x=x处的微分dy是(B)020(A)与Dx等价的无穷小(B)与Dx同阶的无穷小(C)比Dx低阶的无穷小(D)比Dx高阶的无穷小(2)设y=f(x)是方程y¢¢-2y¢+4y=0的一个解，若f(x)>0，且f¢(x0)=0，则函数f(x)在点x0(A)(A)取得极大值(B)取得

5、极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域W:x2+y2+z2£R2,z³0。及W:x2+y2+z2£R2,x³0,y³0,z³0,则(C)12(A)òòòWxdv=4òòòWxdv(B)òòòWydv=4òòòWydv(C)òòòWzdv=4òòòWzdv(D)òòòWxyzdv=4òòòWxyzdv¥(4)若åan(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处(B)n=1(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组a1,a2,,as

6、(3£s£n)线性无关的充分必要条件是(D)(A)有一组不全为0的数k1,k2,,ks,使k1a1+k2a2++ksas¹0.(B)a1,a2,,as中任意两个向量都线性无关.(C)a1,a2,,as中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)a1,a2,,as中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四．(本题满分6分)6/61988年•第2页6/6设u=yf(x)+xg(y)，其中f,g具有二阶连续导数，求x¶2u+y¶2u.yx¶x2¶x¶y解：¶uæxöæyöyæyö=f¢ç÷+gç÷-

7、g¢ç÷.¶xèyøèxøxèxø¶2u1æxöy2æyö=f¢¢ç÷+g¢¢ç÷.¶x2yxèyøèxø¶2uxæxöyæyö=-f¢¢ç÷-g¢¢ç÷.¶x¶yyx2èyøèxø所以x׶2u+y׶2u=0.¶x2¶x¶y„„2分„„3分„„5分„„6分6/6五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y¢¢-3y¢+2y=2ex,且图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x).解：对应齐次方程的通解为Y=Cex+Ce2x.„„2分12设原方程的

8、特解为y*=Axex,„„3分得A=-2.„„4分故原方程通解为y(x)=Cex+Ce2x-2xe2x.„„5分12又已知有公共切线得y

9、x=0=1,y¢

10、x=0=-1，„„7分ìc+c=1,即í12解得c1=1,c2=0.„„8分îc1+2c2=1所以y=(1-2x)e2x.六、(本题满分9分)k设位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为r2(k>0为常数，r为质点A与M之间的距离—)，质点M沿曲线y=2x-x2自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A对质M点