线性代数同济大学总复习.pptx

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1、Ddet(aij)1a2a1ap1122qpnnqa1ap12p2apnn上页下页结束返回首页第一章行列式一n阶行列式的定义a11a12a1na21a22a2nan1an2anntp1p2pna1p12pnpnp1p2pntqapt1a上页下页结束返回首页二行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等,即

2、D

3、=

4、DT

5、;性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号;推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.上页下页结束返回首页性质3行列式的某一行（

6、列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.an2annan1kai1a11a12a1nan2annan1ai2aina11a12a1nkai2kainkai1推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．a21a2na21上页下页结束返回首页性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．a12a22an2a11a21an1(a1ia1i)a1n(a2ia2i)a2n(ani

7、ani)ann性质5Da11an1a1ia1na11a2ianiannan1a1ia1na2ia2naniann上页下页结束返回首页性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．行列式按行（列）展开已知矩阵A(aij);则n0,当ij;nAaA上页下页结束返回首页三克拉默法则如果线性方程组(1)a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2a

8、n1x1an2x2annxnbn的系数行列式不等于零，即a21a22a2nan2annan1a12a1na11D0上页下页结束返回首页其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即bnb1an,j1annan1an,j1a1,j1a1na11a1,j1Dj.DnD,,xnD2D,x3D2D,x2D1Dx1那么线性方程组1有解，并且解是唯一的，解可以表为上页下页结束返回首页定理4如果线性方程组1

9、的系数行列式D0,则1一定有解,且解是唯一的.定理4’如果线性方程组1无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定理5如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.定理5’如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必为零.上页下页结束返回首页计算（证明）行列式１用定义计算（证明）2用数学归纳法3用行列式的性质4利用范德蒙行列式上页下页结束返回首页21页例题3215112105313413,D的（i,j）元的余子式和代数余子式记为Mij与Aij，求:设D1

10、112111413解：(1)A11A12A13A14(1)A11A12A13A14(2)M11M21M31M41105r4r3313r3r15111002r上页下页结束返回首页111122111105(1)132224.100(2)M11M21M31M41A11A21A31A4115211105131314131152r431105131301000r4r3r3r1说明：此例利用了余子式与aij的值无关，而只与下标有关。上页下

11、页结束返回首页a3a2a1xa2a2a1xxa1a4xa3an.a3ana3anan0010001111a3a2a1D10，其中a1a2an0爪型行列式(1)Dn1a1a2(2)上页下页结束返回首页第二章矩阵及其运算1矩阵的概念几种特殊矩阵：零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、对称阵、行（列）向量、正交矩阵、正定矩阵等。2矩阵的运算矩阵的数乘运算矩阵的乘法运算[第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数]不满足交换律与消去律A11AAn1上页下页结束返回首页An2

12、AnnA12A1nA21A22A2n称为方阵A的伴随矩阵。

13、A

14、

15、A

16、n1行列式A随矩阵方阵的伴的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵上页下页结束返回首页矩阵的逆运算矩阵可逆的几个充要条件n阶方阵A可逆n阶方阵B，使得ABBAEnn阶方阵B，使得A