线性代数总复习

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1、§1线性代数概况线1. 线性代数的解析理论——矩阵理论性§1线性代数概况代行列式、矩阵、线性方程组、二次型数§2线性代数的“解析理论”行列式的定义、性质、计算、证明；总§3线性代数的“几何理论”矩阵的定义、性质、运算、初等变换、秩、特复征值、特征向量、相似对角化、正交对角化；习§4线性代数典型证明题方程组的Gauss消元法、初等变换、基础解系、通解、特解；二次型的标准化、规范化、惯性指数、正定负定；1/3/4.1 2. 线性代数的几何理论——空间理论向量欧氏空间、线性方程组解空间、二次型主轴定理

2、3. 线性代数主线向量、向量的线性运算；向量间的线性关系；向量组间的关系；空间为体，矩阵为用向量与向量组的关系；向量空间；内积运算、欧氏空间；几何是脑力劳动，代数是体力劳动. 向量的长度、夹角、正交、规范正交向量组；规范正交基、Schmidt正交化；——教学名师中国科技大学李尚志线性方程组解空间的结构、二次型的主轴定理；空间与空间的转换关系：过渡矩阵2/3/4.1 3/3/4.1 §2线性代数的解析理论——矩阵理论行列式的性质：（辅导P2）解析理论第一大块：行列式1.行列式等于0；（4点）aaL

3、a11121 n2.行列式的值不变；（4点）aaLa21222 nt(j1j2 Ljn ) 3.行列式的值改变；（2点）D=MMOM=å(-1) a1j1a2 j2 Lanjn j1j2 Ljn 4.特殊行列式的值。（5种）aaLan1n2nnCramer法则：（辅导P3）ìa,n =111 DD D ïx=1,x=2,L,x =n .D=íaA+aA+L+aA,n >112n i1i1i2i2 ininDDDïaA+aA+LaA,n>1î1j1j2j2 jnjnj1/12/4.2 2/12/4

4、.21解析理论第二大块：矩阵矩阵的运算(辅导P29，6点);分块矩阵的运算 (辅导P31);对角阵(Diagonal Matrix):éa 1 ù初等行变换与初等矩阵(辅导P32) “左行右列”;êúA =diag(a ,a,La) =O; 1 2 nêú初等变换的性质(辅导P33，3点)êa úënû矩阵的秩(6点);数量矩阵(Scalar  Matrix):（特别注意其行列式）特殊矩阵:ékù初等、变换、可逆、对角、转置、对称、系数、êúkI =O;增广、伴随、过渡、相似、合同、正交、正定、

5、nêúêëkúû负定、幂等、对合、幂零；n´n3/12/4.2 4/12/4.2 解析理论第三大块：线性方程组一般线性方程组：AX=b(1) r([C, d])=r(C)=n,原方程组有唯一解;Gauss消元法与线性方程组的初等变换:(1)互换两个方程的位置;(2)如果增广矩阵行阶梯形中含[0  0 … 0, 1],即(2)用一个非零数乘以某一个方程;r([C, d]) >r(C) , 0x+0x+L+0x=1, 无解;12 n (3)将某个方程的若干倍加到另一方程上去. 行初等变换(3)如果增

6、广矩阵行阶梯形中含[0  0 … 0, 0],即[A,b]¾¾¾¾®[C,d ],r([C, d])=r(C)

7、A)=n ,特征值特征向量的求法 (辅导P133)"hÎN(A ),h=kx+kx+L+k x.1122 ss-1 3阶相似矩阵对角化：PAP=B=diag(l,l,l)123 非齐次线性方程组：(1)求出矩阵A的所有特征值l,l, l;123 AX=b 的解集不构成向量空间;m´nn´1m´1(2)求出所有特征值对应的特征向量a,a, a;123 AX=b的通解 =齐次通解+非齐次特解,即(3)所求相似变换矩阵P =[a,a,a].123 X=x+h.注意对角矩阵的实际应用。7/12/4.2 

8、8/12/4.22二次型标准化Û对称矩阵对角化(3)正交变换法化二次型为标准形：存在n阶可逆阵P,使得n阶方阵A,B合同：A;B求出f的对称阵A的所有特征值l,l, l;123 PT AP=B求出对应于特征值的特征向量x1,x2,x3; TT 222 正交化、单位化x,x, x, 得C=[h,h,h];f=XAX=Y(PAP)Y=ky+ky+ky 1 23 123 112233 TTT 222 (1)配方法化二次型为标准形;得f=XAX=Y(CA C)Y =l1y1+l2y2+l3y3 .(2)