应用2-利用空间向量证明垂直问题.ppt

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1、空间向量法证明垂直l1l2l（线与线）例1、如图，在正方体中，相交于点，求证：1.三垂线2.坐标法1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点O，E为棱DD1的中点。求证：B1O⊥平面EAC。zyx解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0）,B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）E（0，2，1），B1（2，0，2）O是正方形ABCD的中心，O（1，1，0）A1DCBAB1D1C1OE即B1O⊥AC，B1O⊥AE，又ACAE=AB1O⊥平面EAC（线与面—

2、与法向量平行？）证明:建立如图所示空间直角坐标系，则传统思路点积垂直例1：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzy（面与面）AFEC1B1A1CBzy不防设a=2，则A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z

3、)是面AEF的法向量，则x{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0{x=0y=-2z令z=1得,n=（0，-2，1）显然有mn=0，即，mn面AEF面ACF证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，作业1：在长方体中，（一）几何法（二）坐标法作业3：如图，在直三棱柱-中，是棱的中点，求证：思路1：证明：分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系图中相应点的坐标为：所以：所以：即，