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1、三反证法与放缩法1.掌握反证法和放缩法的依据.2.会利用反证法和放缩法证明有关不等式.121.反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法.12【做一做1-1】否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,应假设()A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
2、答案：D12【做一做1-2】要证明“a,b至少有一个为正数”,用反证法假设应为.答案：a,b全为非正数122.放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.归纳总结放缩法的常用技巧:舍去或加进一些代数式,放大或缩小分子或分母,运用重要不等式,利用函数的单调性、值域等.12121.反证法中的数学语言剖析：反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,直接证明有困难时,常采用反证法.下面我们列举以下常见的涉及反
3、证法的文字语言及其相对应的否定假设.12对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.122.放缩法的尺度把握等问题剖析：(1)放缩法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的值域等.12(2)放缩法使用的主要方法.放缩法是不等式证明中重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的
4、结论考察.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如,题型一题型二题型三【例1】若a3+b3=2,求证:a+b≤2.分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法.证法一：假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2.证法二：假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6.故ab(a+b)>2.∵
5、a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2).∴a2-ab+b20.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.∴1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.∴a2+b2<1+ab<2.∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.而由假设a+b>2,得(a+b)2>4,出现
6、矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b≤2.反思利用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式:(1)与已知矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与显然成立的事实矛盾.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思1.在证明中含有“至多”“至少”“最多”等词语时,常使用反证法证明.2.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此,在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思1.利用放缩法证明不等式主要是根据不等
7、式的传递性进行交换,即欲证a>b,可换成证a>c,且c>b;欲证a
