2020版高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用课件新人教A版.pptx

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1、1.7.1定积分在几何中的应用1.体会定积分在解决几何问题中的作用.2.会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.1.利用定积分求平面图形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定被积函数以及积分的上、下限.(2)若一平面图形是由y=f1(x),y=f2(x)及x=a,x=b(ag(x),答案:C2.平面图形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系c(x)]dx.所以,平面图形的面积等于平面图形上、下两个边

2、界所表示的函数的差的定积分.【做一做2】用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是()答案:D1.几种典型的平面图形面积的计算剖析(1)求由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(ag(x)>0时,2.求平面图形的面积的步骤有哪些?剖析(1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题.(2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定积分上、下限.(3)确

3、定被积函数,要特别注意分清被积函数的上、下位置.(4)写出平面图形面积的定积分表达式,运用微积分基本定理计算定积分,从而求出平面图形的面积.题型一题型二题型三题型四不分割型图形面积的求解【例1】求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.分析:作图→求抛物线与直线的交点→写积分表达式→求定积分得面积所以直线y=-x+2与抛物线y=x2-4的交点为(-3,5)和(2,0).设所求图形的面积为S,题型一题型二题型三题型四反思求不分割型图形面积的一般步骤如下:同时,要注意定积分与图形面积的区别:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是正的.题

4、型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围成的图形的面积为()解析:根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0).因为f(x)的图象经过(0,1)点,所以-a=1,即a=-1.所以f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2.答案:B题型一题型二题型三题型四分割型图形面积的求解分析:可先求出曲线与直线交点的横坐标,确定积分区间,再分段利用公式求解.解:画出草图,如图所示.题型一题型二题型三题型四反思由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间段内位于上方和下方的函数有所变化,通

5、过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行分解细化,然后根据图象对各个区间分别求面积进而求和,在每个区间上被积函数均是由上减下.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求由曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积S.解:在同一平面直角坐标系中作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x的图象,所求面积为图中阴影部分的面积.题型一题型二题型三题型四综合应用【例3】如图,在曲线C:y=x2,x∈[0,1]上取点P(t,t2),过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x=0,x=1及直线l围成的图形包括两部分,面积分别记为S1,S2.(1)求t的值,

6、使S1=S2;(2)求t的值,使S=S1+S2最小.分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出用t表示的两部分的面积S1,S2的表达式,再根据各小题的条件求解.题型一题型二题型三题型四解:根据题意,直线l的方程是y=t2,且0

7、)定积分的正确计算.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线,使之与标以及过切点A的切线方程.题型一题型二题型三题型四解:如图,设切点A(x0,y0),由y'=2x,则过点A的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),设由曲线和过点A的切线及x轴所围成图形的面积为S,S=S曲边三角形AOB-S△ABC,解得x0=1,从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:被积函数上、下限不对应而致错【例4】求由抛物线y2=8x(y≥0),直线x+y-6=0与y=0所围成图形的面积S.

8、所以抛物线y2=8x(y≥0)与直线x+y-6=0的交点坐标为(2,4).题型一