高中数学选修4-5知识点清单.pdf

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1、高中数学选修4-5知识点不等式选讲1、不等式的基本性质①（对称性）abbaabbc,ac②（传递性）③（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbcab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbdabab0,0cd（异向正数可除性）cdnnab0abnN(,且n1)⑥（平方法则）nn⑦（开方法则）ab0abnN(,且n1)1111ab0;ab0

2、⑧（倒数法则）abab2、几个重要不等式22ab22ab.ab2ababR，2①,（当且仅当ab时取""号）.变形公式：abab，abR②（基本不等式）2,（当且仅当ab时取到等号）.2abab.变形公式：ab2ab2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.abc3abc3()abcR、、③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当abc时取到等号）.222abcabbccaabR，④（当且仅当abc时取到等号）.

3、333abc3abca(0,b0,c0)⑤（当且仅当abc时取到等号）.ba若ab0,则2⑥ab（当仅当a=b时取等号）ba若ab0,则2ab（当仅当a=b时取等号）bbmana1⑦aambnb，（其中ab0，m0，n0)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.22当a0;时，xaxaxax或a⑧22xaxaaxa.ababab.⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式222abab11ab①平均不等式：ab22，（abR,，当且仅当ab

4、时取""号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222abab()ab2ab;ab22.222②幂平均不等式：22212aa...a(aa...a).12nn12n③二维形式的三角不等式：222222x1y1x2y2(x1x2)(y1y2)(,,,xyxy1122R).④二维形式的柯西不等式：22222(ab)(cd)(acbd)(,,,abcdR).当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222(aaa)(bbb)(abab

5、ab).123123112233⑥一般形式的柯西不等式：2222222(aa...a)(bb...b)(abab...ab).12nn121122nn⑦向量形式的柯西不等式：,,k设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数k，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：aa...ab,b...bcc,,...,cbb,,...,b设12nn12为两组实数.12n是12n的任一排列，则abab...abacac...acabab...ab.1n2n1n11122nn112

6、2nn（反序和乱序和aa...abb...b顺序和），当且仅当12n或12n时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）fx()xxx,(x),若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点1212有xxfx()fx()xxfx()fx()12121212ff()或().2222则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：12231(aa)(

7、);①舍去或加上一些项，如242②将分子或分母放大（缩小），11112212,,,22如kkk(1)kkk(1)21kkkkkk12*(kNk,1)kkk1等.5、一元二次不等式的解法2axbxc0(或0)求一元二次不等式2(a0,b4ac0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依

8、次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则fx