对称性在微积分计算中应用的研究.pdf

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1、对称性在微积分计算中的应用1对称性在微分学中的应用若fx,x,x中任意两个变元对换而函数不变，则称fx,x,x是对称函12n12n数。则我们可以定义极限的对称性如下若fx,y是极限存在的对称函数，则limfx,ylimfy,x，或者有xx0,yy0xx0,yy0limlimfx,ylimlimfy,x。xx0yy0xx0yy01.1对称性在导数计算中的应用（1）若fx,y是偏导数存在的对称函数，则fx,yfy,x；而当xyf

2、x,yfy,x时，有fx,yfy,xxy例1.1设函数zzx,y由方程Fxmz,ynz0确定，其中F是可微函数，m与nzz是常数，求mn。xy解Fxmz,ynz0两端对x求导得F1mzFzn01x2x即mFnFzF12x1F1从而z（1）xmFnF12F2根据x,y的对称性，得z（2）ymFnF12由（1）（2）两式得mzzn112正是由于考虑到x,y的对称性，从而通过

3、z得到z的值，避免了重复计算。xy22xyuu例1.2uxy，求,。xy22xyln(xy)解把y看成常数对x求偏导，这时u是x的幂指函数。因此，改写为ue。uxyln(x2y2)222xeylnxyx22xxy222xy222xxyylnxy22xy由x,y地位一样，利用轮换，把x换成y，y换成x，有2u22xy222yxyxlnxy22yxy（2）若ufx,y,z是一个三元轮换

4、对称函数，则它对任一变元所得的n阶偏导数的结果都可以经轮换xy,yz,zx直接转换为其他变元的n阶偏导数。222222uuu例1.3设ufxyz,xyz，求u。222xyzu解由ff2x12x2u2ff2x2ff2xx2ff4fx4xf2f，21112212221112222x2u2由对称性得f4fy4yf2f21112222y2u2f4fz4zf

5、2f，21112222z222于是u3f4xyzf4xyzf6f11122221.2对称性在微分计算中的应用微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。222uuu例1.4已知u1,rx2y2z2，证明0。222rxyz222uxu3xr证明,325xrxr由于在函数u中，x与y对称，x与z对称，故222222u3yru3zr，2525yrz

6、r222uuu12222223xr3yr3zr02225xyzr2对称性在积分学中的应用2.1对称性在积分计算中的应用（1）在对称区间a,a上连续函数fx的定积分具有对称性：a0fx为x的奇函数fxdxa-a2fxdxfx为x的偶函数0利用这一结论，可简化定积分的计算，尤其当fx为奇函数时，则可避免复繁杂的计算，提高计算的效率。2x例2.1.1计算xln1edx2x分析显然积分区间关于原点对称，但ln1e既不

7、是奇函数也不是偶函数，我们可利用fxfxfxfxfx。22fxfxfxfx其中为偶函数，为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇22函数之和。x解令fxln1e，则fxfx1xxfxfx1ln2ee，x2222x12x-x122228所以有xln1edx2xxln2eedx2xdx0xdx223在连续函数图形关于原点或直线对称时有推广到如下性质（2）若yfx

8、的图形关于直线xx对称，即fxxfxx，则000x0ax0afxdx2fxdxx0ax0（3）若yfx的图形关于x0,对称，即fxxfxx，则000x0axfxdx00ab同样，若满足fxfbx，则fxdx00（4）若函数yfx与ygx的图形关于直线xx对称，即0x0ax0afxxgxx，则fxd