欧式双向期权的两种定价比较

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1、第26卷第1期大学数学Vo1．26，№．12010年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb．201O欧式双向期权的两种定价比较郝振莉，董晓娜，闰海峰。(1．黄河水利职业技术学院基础部，河南开封475000；2．南京财经大学金融学院保险系，江苏南京210046)[摘要]在股票价格服从泊松跳模型下，分别利用保险精算方法与无套利定价方法给出了欧式双向期权的定价公式；通过对这两种结果的比较发现，当股票价格服从特定的泊松跳模型时两种定价公式是相同的．[关键词]金融市场；无套利定价；保险精算定价；泊松跳模型；期权定价[中图分类号

2、]F830．9；0211．6[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2010)01—0132—05l引言期权定价问题是金融数学中的核心问题之一．传统的期权定价方法有三种：解偏微分方程方法、离散模型逼近法、鞅方法．这些方法都是基于无套利、均衡、完备的市场假设，利用无套利推理的思想得到的．当市场是有套利的不完备的或者是无套利的不完备的时候，这时等价鞅测度不存在或存在不唯一，传统的期权定价方法将无法使用．基于此，Bladt和Rydberg1998年在[2]中提出了期权定价的保险精算方法，此方法将期权定价问题转化为等价的保险

3、或公平保费确定问题；并指出由于无任何市场假设，所以它不仅对无套利、均衡、完备的市场有效，且对有套利、非均衡、不完备市场也有效．而且在[2]中证明了当股票价格服从几何Brown运动的情况下，保险精算方法给出的定价与传统的无套利定价是一致的，并用保险精算方法证明了Black和Scholes在1973年在[1]中提出的著名的公式．在[6]中也证明了在广义Black—Scholes模型下，期权的保险精算定价与无套利的定价是一致的．但[5]中证明当股票价格服从指O—U过程时，保险精算定价是有套利的定价．[7]中证明当股票价格服从几何分

4、式Brown运动时，保险精算定价公式与无套利定价公式是不一样的．在无套利完备市场中，无套利定价方法给出的定价是唯一合理的价格，如果保险精算定价方法给出的定价与无套利定价不一样，那么保险精算定价就是有套利的定价．本文将在带泊松跳的完备的市场模型中，分别用鞅方法和保险精算方法考虑欧式双向期权的定价问题，指出在原概率下泊松随机过程的强度与在等价鞅测度下的强度一样时，即—时，两种定价才是相同的．2保险精算方法与欧式双向期权考虑时间区间为[0，T]的连续金融市场，只有两种资产，一种是无风险资产(如债券)，其t时刻价格B(￡)满足dB(

5、t)一r(￡)B(f)dt，B(0)一1．(1)r(￡)为无风险利率，且为[0，T]上的实值可积函数．另一种资产为风险资产(如股票)，t时刻价格S(￡)定义在某个完备概率空间上的随机过程．设{F，O≤￡≤T)为{S()，0≤￡≤T}生成的自然旷代数，S(O)一S。>O为常数．[收稿日期]2007—06—20第1期郝振莉，等：欧式双向期权的两种定价比较133定义l价格过程s(￡)在[o，丁]上产生的期望收益率Ir(s)ds定义为exp((s)ds)一旦，其中fi(t)为股票在t时刻的瞬时收益率．假设口(￡)是[0，丁]上的实值

6、可积函数．定义2欧式期权的保险精算价值的定义为：当期权被执行时，股票到期日的折现值与执行价的折现值的差，在股票价格实际分布的概率测度下的数学期望值．资产折现价的计算方法如下：无风险资产(确定的)按无风险利率折现，风险资产(随机的)按其期望收益率折现．注欧式买入期权与卖出期权的保险精算方法的执行条件分别为exp{一j。p(￡)}s(T)>exp{一j。r(￡)出K和exp{l一jJ0卢)dt}JS(T)K和S(T)

7、期权的持有者可以在到期时刻以规定的敲定价格K买进或卖出某指定的资产的权益．假设标的资产价格为S(￡)，那么在T时刻欧式双向期权的收益为f(sT)一IST—Kl—max{S1I—K，0}+max{K—ST，0}．(2)即欧式双向期权的终端收益可以分解为具有相同到期时刻和相同执行价格的同一种标的资产的一个买人期权的终端收益和一个卖出期权的终端收益之和．设C(K，T)，C(K，T)分别表示以股票价格为标的资产，执行价格为K，到期日为T的欧式双向期权的保险精度定价和无套利定价，则ccK，T一E[fexp(一．f卢cdz}S(T)-K

8、exp{一rcd}i]c3广fr丁1]C(K，T)一E。lLexp{【一JIr(f)dt}ls(T)一Kll，(40J其中E[·]是在实际概率下的数学期望，E。[·]是在等价鞅测度Q下的数学期望．3带泊松跳模型假设股票价格s满足Harrison和Pliska文[3]中的模型，即S—Sexp