高三数学理立体几何（三）人教实验版（A）知识精讲.doc

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1、高三数学理立体几何（三）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何（三）二.重点、难点：（一）1.在同一个平面内平面向量的所有结论均可使用。2A、B、C三点共线3.共面向量均在平面内（x，y唯一）4.空间向量的坐标表示（1）（2）（3）（二）直线，m的方向向量为平面的法向量为（1）（2）（3）（4）用心爱心专心（5）（6）（三）三种空间角的向量法计算公式：1.异面直线所成的角：；2.直线与平面（法向量）所成的角；；3.锐二面角：，其中为两个面的法向量。【典型例题】[例1]如图所示，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱AM的长为，且AM和AB，

2、AD的夹角都等于60°，N是CM的中点。（1）以为基向量表示出向量，并求CM的长；（2）求BN的长。解析：（1）∴（2）∴用心爱心专心∴[例2]若A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案：B解析：∵同理，，故△BCD为锐角三角形，因此选B[例3]已知A（3，1，5）、B（－2，－1，4），求直线AB与坐标平面的交点M的坐标。解析：设M（，0，），由条件A、B、M三点共线∴∵，∴∴∴M[例4]在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1

3、B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），M（0，1，），Q（），设P（x，0，1）用心爱心专心∴∴∴选D[例5]在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则与C1B所成的角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°答案：B解析：如图，，设∴∴[例6]已知空间三点A（0，2，3）、B（－2，1，6）、c（1，－1，5），求以、为邻边的平行四边形的面积。解析：故以、为邻边的平行四边形面积为用心爱心专心[例7]在直三棱柱A1B1C1—AB

4、C中，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.答案：A解析：建立如图所示的坐标系，设BC=1，则A（－1，0，0），F1（，0，1），B（0，－1，0），D1（）即∴[例8]如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为。解答：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为轴，建立空间直角坐标系，设AE

5、=，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）因为=0，所以（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，用心爱心专心，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量∴，由令∴，∴依题意[例9]如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=AD。（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值。

6、解析：如图，建立空间直角坐标系用心爱心专心∵PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°∴∠PBA=60°取AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，），D（0，2，0）（1）∵∴∴AC⊥CD，AP⊥CD，∴CD⊥平面PACCD平面PCD∴平面PCD⊥平面PAC（2）∵∴∴又∴∴∴AE与PB所成角余弦值为[例10]在四面体O—ABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，若，则使G与M，N共线的x值为（）A.1B.2C.D.答案：A解析：若G、M、N共线，则存在使，即∴用心爱心专心∴∴[例11]二面角的棱上有A、B两点，直线AC、B

7、D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB。已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=，则该二面角的大小为（）A.150°B.45°C.60°D.120°答案：C解析：由条件知，∴∴∴，所以二面角的大小为60°[例12]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=，AA1=2，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N点是BC1的中点。（1）求证：MN//平面A1B1C1；（2）求点C1到平面MBC的距离；（3）求二面角B—C1M—A1的大小。解析：（1）如图，以点C为坐标原点，以CB所在直线为