高三数学立体几何（二）人教实验版（A）知识精讲

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1、高三数学立体几何（二）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何（二）二.重点、难点：1.角度（1）两条异面直线所成角（2）直线与平面所成角（3）二面角2.距离（1）作垂线（2）体积转化【典型例题】[例1]PA、PB、PC两两垂直，与PA、PB所成角为45°，60°，求与PC所成角。解：构造长方体[例2]正四棱锥S—ABCD中，AB=，SA=，M为SA中点，N为SC中点。（1）求BN，DM所成角的余弦值；（2）P、Q在SB、CA上，，求PQ与底面ABCD所成角的正切值。解：（1）MEFDH为SN中点∴异面直线MD、BN所成角的余弦值为（2）过P作PH//SO交BD于H∴P

2、H⊥面ABCD∴∠PQH为PQ与底面所成角∴[例3]SA⊥面ABC，AB⊥BC，DE在面SAC内，垂直平分SC，交SC、AC于E、D，若SA=AB=1，BC=，求二面角（1）B—SC—A的余弦值；（2）E—BD—C。解：（1）面DEB∴∠DEB为二面角A—SC—B的平面角面SAC∴∠EDC为二面角C—BD—E的平面角∴∵AB=SA=1AC=SC=2∴BE=1DE=CD=∴∵∴[例4]正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=1，求：（1）D到面D1AC的距离；（2）C到面AB1D1的距离；（3）M为BB1中点，M到面D1AC的距离；（4）AC1与BB1的距离解：（1）连BD∩AC=E

3、过D作DF⊥D1E于F，∴DF为距离（2）设C到面AB1D1的距离为h∴（3）连DM交D1E于H，设M到面D1AC距离为∴（4）[例5]四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，PB=PD，PA=PC=，求：（1）B到面PAD的距离；（2）BC与PA的距离；（3）AC与PD的距离。解：（1）AC∩BD=H，连PHBF为所求PA=，AH，PH，PB=2∴BE=DE=，BD=2∴BF=另（2）（BC，面PAD）=（B，面PAD）=（3）过H作HM⊥PD于M为公垂线[例6]直二面角，AB∩，，AB与所成角为，AB与所成角为，求证：。证明：过A作AC⊥于C，过B作B

4、D⊥于D∴AC⊥BD⊥∠BAD=∠ABC=∴∴∴当且仅当C、D重合时，[例7]如图所示，已知直线AB⊥平面，线段BC，CD⊥BC且CD与平面成30°的角，设AB=BC=CD=2，CE是CD在平面内的射影。（1）求证：AD与BC是异面直线；（2）求AC与DE之间距离；（3）求AD与BC所成角的度数。解析：（1）证明：假设AD与BC在同一个平面内，∵AB⊥，BC∴AB⊥BC，又CD⊥BC，∴AB//CD，∴CD⊥，这与CD与成30°角矛盾∴AD与BC是异面直线（2）∵CE是CD在平面内的射影∴DE⊥，从而DE⊥CE由BC⊥CD得BC⊥CE，由AB⊥，CE得CE⊥AB∴CE⊥平面ABC，A

5、C平面ABC∴CE⊥AC∴CE是AC与DE的公垂线，CD=2，∠DCE=30°∴CE=（3）延长DE到F，使EF=DE，则DFAB连接BF，则BFAD∴∠FBC是AD与BC所成的角∴∠FBC=45°[例8]如图所示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正切值。解析：（1）∵CS⊥SB，CS⊥SA∴SC⊥平面SAB∴BC在平面SAB上的射影为SB∴∠SBC为SB与平面SAB所成的角，又∠SBC=60°故BC与平面SAB所成的角为60°（2）连结MC，在中，∠SB

6、A=45°∴SM⊥AB又AB⊥SC∴AB⊥面SMC∴面SMC⊥面ABC过点S作SO⊥MC于点O∴SO⊥面ABC∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角设SB=，则SM=，在△SBC中，SC=SBtan60°=∴[例9]如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角余弦值；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。解析：（1）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD∴由三垂线定理得：CD⊥PA因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD

7、都垂直∴CD⊥面PAD又CD面PCD∴面PAD⊥面PCD（2）过点B作BE//CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角（或为其补角）连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2所以四边形ACBE为正方形，由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在中，BE=，PB=∴∴AC与PB所成角的余弦值为（3）作AN⊥CM，垂足为N，连结BN在中，AM=MB，又AC=CB∴△AMC≌△BMC∴BN⊥CM，且BN=AN，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥