证明初等变换不改变矩阵的秩.doc

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1、证明初等变换不改变矩阵的秩证:设A为矩阵经过初等行变换变为矩阵B,且，1.初等对换变换：（交换矩阵的第i行与第j行）因为A中的任意阶子式均为零，所以B的任意阶子式也为零。因此有矩阵B中任何阶子式等于任意非零常数k与A的某个阶子式的积。2.初等倍法变换：（用非零常数k乘矩阵的第i行）因为A中的任意阶子式均为零，所以B的任意阶子式也为零。因此有矩阵B中任何阶子式等于任意非零常数k与A的某个阶子式的乘积。3.初等消法变换：（矩阵的第j行的k倍加到第i行上）对于矩阵B的任意阶子式若不包含B的第i行或既含第j行也含第i行，由行列式的性质，则，为

2、A的任意阶子式；若含有第i行但不含有第j行，由行列式的性质，则这里的均为A的阶子式。因为A的任意阶子式均为零，所以综上所述，A经过一次初等行变换化为B后，B的阶子式全为零，所以由于初等变换可逆，所以B又可经初等行变换化为A，即有所以同理可证初等列变换。