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1、专题一：函数的性质与图象【要点梳理】1.增函数和减函数定义：如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数；当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数.3．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.（4）导数法:若当时，，则在上递增；若当时，，则在上递减.（5）利用函数图象判断函数单调性.（6）复合函数的单调性判断：如果和单
2、调性相同，那么是增函数；如果和单调性相反，那么是减函数.4．熟记以下几个结论:(1)与的单调性相同；（2）与的单调性相反；（3）与的单调性相反.5.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.6.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0；如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是非奇非偶函数;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是f(x)=0.7.奇偶函数的性质:(1)奇偶函数定义域关于原点对称.(2
3、)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.(3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.48.利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;(2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)下结论.9.周期函数的定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称为周期函数，其中T称为的周期.若T中存在一个最小的正数,则称它为的最小正周期.10.图象变换:(1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减的图象向左平移个单位得到函数的图象;的图象向右平移个单位得到函数的图象;的图象向上(下)平移个单位得到函数的
4、图象.(2)对称变换:与的图象关于轴对称;与的图象关于轴对称;与的图象关于原点对称;(3)翻折变换：①的图象：先画出的图象，然后保留x轴上方部分，并把x轴下方部分翻折到x轴的上方即可.②的图象：先画出的图象，然后保留y轴右侧部分，并把y轴右侧部分翻折到y轴的左侧即可.【巩固练习】1.函数y=x2㏑x的单调递减区间为（D）（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）变式：函数的单调递减区间为.2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(B)A.y=cos2x，xRB.y=log2
5、x
6、，xR且x≠0C.，xRD.y=+1，xR3．已知定义在R上的
7、奇函数满足,且在区间上是增函数,则4(D)A.B.C.D.变式：已知定义在上函数是奇函数，对都有，则(D)A.2B.-2C.4D.04.对于函数，有如下三个命题：①是偶函数；②在区间上是减函数，在区间上是增函数；③在区间上是增函数．其中正确命题的序号是①②．（将你认为正确的命题序号都填上）变式：若函数的单调递增区间是，则=___-6_____.5.函数的图象如右图所示，下列说法正确的是(C)①函数满足②函数满足③函数满足[来源:学
8、科
9、网Z
10、X
11、X
12、K]④函数满足A.①③B.②④C.①②D.③④[来源:Z,xx,k.Com]变式：为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左
13、平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度6.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x，则函数的零点个数是(C)(A)0个(B)2个(C)4个(D)6个变式：设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当4时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为(B)A.2B.4C.5D.87.对实数和,定义运算“”
14、:=,设函数,.若函数的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是(B)A.B.C.D.变式1：已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点2.变式2：已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是（0，1）（1，2）.8.已知函数.讨论函数的单调性。K^S*5U.C#变式：已知函数为，当时，讨论函数的单调性。[来源:学科网ZXXK]4
