因式分解——十字相乘法与分组分解法.doc

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1、因式分解——十字相乘法与分组分解法【学习要求】1.理解十字相乘法与分组分解法；2.会运用十字相乘法与分组分解法分解因式。【知识内容】1.十字相乘法分解因式：（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a和b，例如，为了分解因式，就需要找到满足下列条件的a、b；（2）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式中，当时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式，首先要把二次项系数

2、2分成1×2，常数项6分成，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为，正好是一次项系数，从而得。（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解如果是形如的形式，则把ab看作一个整体，相当于x，如果是形如，则先写成，把y看作已知数，写成十字相乘的形式是所以，即右边十字上都要带上字母y，分解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。2.分组分解法分解因式：我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后

3、结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具

4、体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。【典型例题】例1.分解因式：分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。解：例2.分解因式：分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。解：例3.分解因式：分析：首项系数为3应分解为1×3，常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数的符号相同，用十字相乘法尝试如下：其中符合对角两数之积的和为的只有第三个。解：例4.因式分解：分析：这

5、个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一方法二：小结：方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。例5.分解因式：（1）（2

6、）（3）（4）分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。解（一）：解（二）：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：。这也是分组中必须遵循的规律之一。（2）分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即，含有b的项一组即，那与再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将一组应用平方差公式，再提出因式。解：（3）若将此题应用（2）

7、题方法分组将一组应用平方差公式，或者将一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。解：（4）分析：此题按照系数比为1或者为，可以有不同的分组方法。法（一）：法（二）：原式说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在

8、组与组之间仍有公因式可提，如例5（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例5的（2）题、（4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例5中的（