【走向高考】2013高三数学一轮总复习 8-7空间向量及其运算同步练习 理 北师大版.doc

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1、8-7空间向量及其运算(理)基础巩固一、选择题1.已知A(-1,0,1)、B(x,y,4)、C(1,4,7),且A、B、C三点在同一条直线上,则实数x、y分别等于(  )A.x=0,y=1B.x=0,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2[答案] B[解析] 由条件和∥,∵=(x+1,y,3),=(2,4,6),∴==,∴x=0,y=2.2.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R,若ka-b与b垂直,则k=(  )A.5B.6C.7D.8[答案] C[解析] ka-b=(-k-1,-2,k-3),∵ka-b与b垂直,∴1×(-k-1)+2×(-2)+3(k-3)=0,∴

2、k=7.3.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(  )A.0B.1C.2D.3[答案] A[解析] ①错,向量a,b所在的直线可能重合;②错,向量a,b可以平行移动到同一平面内;③错,如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量;④错,a,b,c要求不共面.4.(2012·济宁一模)若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项

3、中,能构成基底的一组向量是(  )A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}9C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}[答案] C[解析] 因为a+b、a-b及a+2b均可用a和b表示,即它们都是与a、b共面的向量,故A、B、D均不正确,选C.5.如图,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(  )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c[答案] A[解析] =+=+(+)=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c.6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则A

4、B1与C1B所成的角的大小为(  )A.60°B.90°C.105°D.75°9[答案] B[解析] 如图,=+,=+,设

5、

6、=1,∴·=·+·+·+·=··cos120°+1=0.∴AB1⊥BC1.二、填空题7.在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________(用a,b,c表示).[答案] a+b+c[解析] =+=+×(+)=+(-+-)=++=a+b+c.8.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=______.[答案] 2[解析] c-a=(1,1,1)-(1,1,x)=(

7、0,0,1-x).∴(c-a)·(2b)=(0,0,1-x)·(2,4,2)=2-2x=-2.∴x=2.三、解答题99.如图,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求与夹角的余弦值.[解析] 记=a,=b,=c,则

8、a

9、=

10、b

11、=

12、c

13、=1,=60°,∴a·b=b·c=c·a=.(1)

14、

15、2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,∴

16、

17、=.(2)=b+c-a,=a+b,∴

18、

19、=,

20、

21、=,·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+

22、a·c+b·c=1.∴cos<,>==.9∴与夹角的余弦值为.能力提升一、选择题1.a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则a+b与a-b的夹角为(  )A.0°B.30°C.60°D.90°[答案] D[解析] (a+b)·(a-b)=

23、a

24、2-

25、b

26、2=0,∴(a+b)⊥(a-b).2.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于(  )A.5B.C.4D.2[答案] A[解析] 设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.∴=(-4,

27、4λ+5,-3λ),又=(0,4,-3),⊥,∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0,∴λ=-,∴=,∴

28、

29、==5.二、填空题3.若A、B、C、D是空间中不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是________.[答案] 锐角三角形[解析] ∵·=0,·=0,·=0.∴AB⊥AC,AC⊥AD,AB⊥AD.∴BC2+CD2=AB2+AC2+AC2+AD2>AB2+AD2=BD2,∴∠BCD为锐

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