资源描述：
《高考数学一轮总复习 10.6 空间向量及其运算教案 理 新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、10.6 空间向量及其运算典例精析题型一 共线和共面向量【例1】设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面.【证明】因为＝，＝，所以＝2，＝2，又＝(＋)，＝λ＝2λ，＝ω＝2ω，所以＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω，所以、、共面，即M、N、P、Q四点共面.【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.【变式训练1】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN
2、∶NC＝2，求证：A、B、N、M四点共面.【证明】设＝a，＝b，＝c，则＝b－a.因为M是DD1的中点，所以＝c－a.因为AN∶NC＝2，所以＝＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋，所以A、B、M、N四点共面.题型二 利用向量计算长度和证明垂直【例2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥平面A1BD.【解析】(1)设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos60°＝，a2＝b2＝c2＝1.而＝a＋b＋c，所以
3、
4、2＝(a
5、＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6，即
6、
7、＝.(2)证明：因为＝a－c，所以·＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－b·c＝1－1＋－＝0.所以⊥.同理可得⊥.所以AC1⊥平面A1BD.【点拨】利用
8、a
9、2＝a2是计算长度的有效方法之一；而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.【变式训练2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.求AC1的长.【解析】
10、
11、2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋
12、2·＋2·＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos120°＋2abcos120°＝2a2＋b2－2ab.所以
13、AC1
14、＝.题型三 利用坐标求法向量和证明垂直问题【例3】正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别是BB1，CD的中点.(1)求证：D1F⊥平面ADE；(2)求平面ADE的一个法向量.【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，F(0，，0)，E(1,1，).所以＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)，＝(0,1，)，因为·＝0，所以⊥，又·＝0，所以⊥，所以D1F⊥平面ADE.(2)
15、由(1)知D1F⊥平面ADE，故平面ADE的一个法向量为＝(0，，－1).【点拨】空间向量坐标化，大大降低了立体几何试题的难度，同学们需要善于利用.【变式训练3】已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列各点中，在平面α内的是( )A.A(2,3,3)B.B(－2,0,1)C.C(－4,4,0)D.D(3，－3,4)【解析】由于n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内任意一个向量垂直，只有在选项A中，＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，·n＝0.故选A.题型四 利用坐标法求解线面及面面
16、位置关系【例4】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0，0,2).设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以2x1＝0,2x1＋2y1＋z1＝0.令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1).因为
17、n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1.(2)由于点M在直线AE上，所以可设＝λ＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M(2,2λ，λ)，于是＝(0,2λ，λ－2).A1M⊥平面DAE，则A1M⊥AE，所以·＝(0,2λ，λ－2)(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝.故当AM＝AE时，A1M⊥平面DAE.【变式训练4】已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，求平面ABC的单位法向量.【解析】设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，即2x＋2y＋z＝0且4x＋5y＋3z＝0，解得所以n＝z(，－1,1)，单位法向量n0＝＝±
