陕西中考题第25题综合探究题.doc

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1、1．（本题满分12分）如图，的半径均为．（1）请在图①中画出弦，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦，使图②仍为中心对称图形；（2）如图③，在中，，且与交于点，夹角为锐角．求四边形的面积（用含的式子表示）；（3）若线段是的两条弦，且，你认为在以点为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．OOOADECBO（第25题图①）（第25题图②）（第25题图③）（第25题图④）解：（1）答案不唯一，如图①、②（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，∵S△ACD=CD·AM=CD·AE·sinα，S△BCD=CD·BN=CD·BE·sinα

2、，∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=CD·AE·sinα+CD·BE·sinα=CD·（AE+BE）sinα=CD·AB·sinα=m2·sinα；（3）存在．分两种情况说明如下：①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=R知S四边形ACBD=AB·CD·sinα=R2sinα，②当AB与CD不相交时，如图④．∵AB=CD=R，OC=OD=OA=OB=R，∴∠AOB=∠COD=90°，而S四边形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC延长BO交⊙O于点E，连接EC，则∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，∴

3、△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△OCE，∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE过点C作CH⊥BE，垂足为H，则S△BCE=BE·CH=R·CH，∴当CH=R时，S△BCE取最大值R2综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．即四边形ABCD是边长为R的正方形时，S四边形ABCD=R2+R2=2R2为最大值。2、（本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽

4、均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。北东D30°ABCMOEF图①乙村综上，你认为把供水站建在何

5、处，所需铺设的管道最短？D30°ABCMOEF图②乙村解：方案一：由题意可得：MB⊥OB， ∴点M到甲村的最短距离为MB。 ∵点M到乙村的最短距离为MD，∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小， 即最小值为MB+MD=3+（km）。方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′=2ME，连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE=。 ∵AM=2BM=6，∴PE=3在Rt△DME中， ∴PE=DE，∴P点与E点重合，即AM′过D点。在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，则P′M=P′M′。∵AP′+P′M′＞AM′，∴把供水站建在乙

6、村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，。方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM′ ∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N=GM+GN 在Rt△M′HM中，∠MM′N=30°，MM′=6， ∴MH=3，∴NE=MH=3 ∵DE=3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。在Rt△M′DM中，DM=，∴M′D=在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，连接G′M′，G′M，显然G′M+G′N′=G′M′+G′N′＞M′D ∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD线路铺设的长度之和最

7、小，即最小值为综上，∵             ∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。    3．（本题满分12分）如图①，我们利用作位似图形的方法，在Rt△中，作出了两边分别落在两直角边上的最大正方形.现有一块三角形的边角料，工人师傅想在边角料上裁出面积最大的正方形部件.下面图②、图③是这块边角料的示意图，其中AB=AC=60，∠A=120°，请你参照图①的作法，在示意图上帮助工人师傅画出裁剪线，画线时，有两种方案：方案一：所画的正方形一边落在BC边上，请你在图②中画出面积