【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点29 数学归纳法（含解析）新人教A版.doc

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1、【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点29数学归纳法（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标数学归纳法；数学归纳法的证明思路；初始值的确定.二.知识梳理1.数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立3.数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等三．考点逐个突破1.数学归纳法原理例1.（1）在用数学归纳法证明“2n>n2

2、对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于A．1　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．7[答案]　C[解析]　n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.（2）在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于4A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4[答案]　C[解析]　因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n0＝3.（3）若f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为A．

3、1B.C．1＋＋＋＋D．非以上答案[答案]　C[解析]　注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n－1的自然数，故f(1)＝1＋＋＋＋.2.用数学归纳法证明恒等式例2.是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)解假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk=(3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5

4、)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立3.用数学归纳法证明不等式例3.试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn4命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况技巧与方法本题中使用到结论(ak－ck)(a－c)＞

5、0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a证明(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②设n=k时成立，即则当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立由①②知，an+cn＞2bn对

6、一切自然数n均成立4.用数学归纳法证明集合命题例4.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．[解析]　(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝.∴点P2的坐标为(，)．∴直线l的方程为2x＋y＝1.(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，4则当n＝k＋1时，2ak＋

7、1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，∴当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．4