计量经济学2_概率论复习

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1、2.1随机变量和概率分布RandomVariablesandProbabilityDistributions2概率论复习ò概率、样本空间和随机变量ò称一随机过程可能发生的互斥的后果为结果（outcomes）。ò结果出现的概率（probability）是指长期观察的结果出现的ReviewofProbability比例。ò所有可能的结果的集合称为样本空间（samplespace）。ò事件（event）指样本空间的子集。ò随机变量（randomvariable）是一个随机结果的数值概括。ò离散型随机变量（discreterandomvariable）ò连续型随机变量（continuousrandom

2、variable）12离散型随机变量的概率分布ProbabilityDistributionofaDiscreteRandom离散型随机变量概率分布的表格Variable形式Xxx…xò概率分布12kò离散型随机变量的概率分布为变量所有可能取值及每个取P(X=x)p(x)p(x)…p(x)i12k值发生的概率列表。ò累积概率分布cumulativeprobabilitydistribution离散型随机变量分布的特点ò累积概率分布是指随机变量小于或等于某个特定值的概率。累积概率分布又称累积分布函数（cumulative(1)0≤px()1(≤=i1,2,...)distributionfunc

3、tion,c.d.f.）或累积分布（cumulativeidistribution）。(2)∑px()1i=ò贝努利分布所有x⎧⎪⎪1概率为piG=⎨⎪⎪⎩0概率为1-p34例：电脑死机M次的概率电脑死机M次的概率与累积概率分布probabilityofyourcomputercrashMtimes0.91.20.810.7Outcome(numberofcrashes)0.60.80.50.6012340.40.30.4probabilitydistribution0.80.10.060.030.010.2cumulativeprobabilitydistribution0.80.90.96

4、0.9910.10.200012345612.2期望值、均值和方差ExpectedValue,Mean,andVariance期望值和均值ò随机变量Y的期望值记为E(Y)，是随机变量在设随机变量有个不同的取值，Ykyyy,,"，其中表示第一个取值，y12k1多次重复试验或反复出现中的长期平均值。Yyy表示第个取值，以此类推，并且取的概率为，取的概率为，2Ypyp21122的期望值也称为Y的期望或Y的均值，记为μY以此类推。则的期望值，记为YE(),Y等于kE(Y)=yp+yp+L+yp=1122kk∑ypiiò离散型随机变量的期望值等于随机变量可能取i=1值的加权平均，其中的权重为对应结果出现

5、的其中∑表示从到的各项iky1iip相加，YY的期望值又称为的均值，用表示。μ概率。Y78贝努利随机变量的期望值求数学期望运算的性质ò数学期望可以看做是一种作用在随机变数上的EG()1=×+×−=p0(1)pp运算。作用的结果（如果存在的话），是一个实数。求数学期望运算的性质：(1)当为常数时，kEkX()=kEX()ò贝努利随机变量的期望值为p，就是变量取值(2)EXY(±=)EXEY()+()为1的概率。(3)当X,Y相互独立时，EXY()=EXEY()()910标准差和方差例：贝努利随机变量的方差和标准差2离散型随机变量的方差，记作，为σY222var()G==−−+−=−σ(0ppp)

6、(1)(1)ppp(1)2.7（）Gk222σYY==−=−var()YE[(Yμ)]∑(YiμY)pi(2.5)i=1Y的标准差为，即方差的平方根。σYσ=−pp(1)标准差的单位和一样。YG22σ()[(XEXE=−())]X22=−EX[2(XEX)+(EX())]22=−EX()2()()(()EXEX+EX)22=−EX()(()EX)11122方差的性质随机变量线性函数的均值和方差Yab=+X222(1)当为常数时，kkσσ(X)=k(X)则的期望和方差分别为Y222(2)当XY,相互独立时，σσ(XY±=)()X+σ()Yμ=+abμYX222σ=bσYX1314分布形状的其他度

7、量指标偏度skewness（又称偏斜系数）ò1.偏度skewness3EY[(−μ)]Skewness=Y2.14（）σ3Yò2.峰度Kurtosisò分布的偏度是描述分布不对称程度的数学工具。ò3.矩Momentò对称分布的偏度为零。Y大于均值和小于均值的并且距离均值距离相等的这两个值出现的可能性相同。1516峰度Kurtosis（又称峰突系数）矩Momentò峰度是度量分布尾部厚薄的指标，它衡